Raisonnement par l’absurde

La vidéo d’aujourd’hui parle de logique et aborde la partie sur le raisonnement par l’absurde. Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Surfaces et volumes

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons revoir les notions d’aires et de volumes.

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Formule de Héron

Si on note respectivement a, b et c les longueurs des côtés [BC], [CA] et [AB], l’aire S du triangle (ABC) peut être obtenue grâce à la formule, dite de Héron, dans laquelle p désigne le demi-périmètre (a+b+c)/2 :

S = racine carrée[p(p-a)(p-b)(p-c)].

Polygones réguliers

On appelle polygone (de poly- : plusieurs et –gone : angle) une figure fermée constituée de segments.


Si n est un entier supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés contient n segments et n sommets, qui sont les extrémités des segments, chaque sommet étant commun à exactement deux côtés parmi les n.


On dit qu’il est croisé si au moins deux côtés se coupent ailleurs qu’aux sommets. Sinon, il est dit non croisé.


Les polygones à 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 côtés s’appellent respectivement des triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, heptagones, octogones, ennéagones, décagones, hendécagones et dodécagones.


On appelle diagonale d’un polygone un segment joignant deux sommets non adjacents. On montre que, si n est le nombre de côtés, le nombre de diagonales est n(n+3)/2. Un polygone non croisé est dit convexe si toutes ses diagonales sont à l’intérieur de la surface délimitée par le polygone. Dans le cas contraire, donc si au moins une diagonale est à l’extérieur du polygone (non croisé), il est dit non convexe, ou encore concave.


On appelle polygone régulier un polygone dont les côtés sont de même longueur mais aussi tel que les sommets sont sur un même cercle (on dit que ces points sont cocycliques). Le cercle est donc circonscrit au polygone.


Les polygones réguliers à 3 et 4 côtés s’appellent respectivement des triangles équilatéraux et des carrés.


Les rayons d’un polygone régulier sont les segments joignant les sommets au centre du cercle circonscrit au polygone.

La multiplication

La multiplication à l’italienne

C’est celle employée encore de nos jours pour effectuer une multiplication « à la main ». En voici un exemple : 5678 x 4321 = 24 534 638.

La multiplication russe

Principe : faire un tableau de deux colonnes dans lequel on effectue les opérations suivantes :

  • Dans la colonne de gauche, on écrit le nombre a, puis en dessous la partie entière de la moitié du nombre écrit au dessus, et ainsi de suite jusqu’à 1.
  • Dans la colonne de droite, on écrit b en première ligne et, en dessous, le double du nombre précédent, en complétant le tableau.
  • On barre ensuite les deux nombres d’une ligne lorsque celui de gauche est pair.
  • On ajoute enfin tous les nombres non barrés de la colonne de gauche.

Cette somme est a x b.

Exemple : 531 x 24 = 12 744.

Homothéties et similitudes

Homothéties

Soit O un point et k un réel non nul. Une homothétie h, de centre O et de rapport k, est définie par : M’ = h(M) équivaut à OM’ = k OM.

Cas particuliers :

Pour k = 1, l’homothétie est l’identité, ou encore application identique, telle que, pour tout point M, on a : M’ = M. Pour k = –1, c’est la symétrie de centre O .

Propriétés :
Si les points M et N ont pour images respectives M’ et N’, alors : M’N’ = k MN. Sauf lorsque k = 1 ou k = –1, l’homothétie ne conserve pas les distances (donc n’est pas une isométrie), mais cependant elle conserve les proportions, propriété caractéristique des similitudes, dont l’étude est l’objet de ce chapitre.

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k et les aires par k^2 .


L’homothétie est bijective.

La composée de deux homothéties de rapport k1 et k2 est :
– une translation lorsque k1 x k2 = 1
– une homothétie de rapport k1 x k2 sinon.

L’écriture complexe de l’homothétie de centre O d’affixe z0 et de rapport k est :

z’- z0 = k(z – z0).

L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.

L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre h( A) et de rayon |k|R.

Similitudes

On appelle similitude du plan toute transformation s du plan dans lui-même qui conserve les rapports de distances, c’est-à-dire :

pour tous points A, B, C et D, avec A différent de B et C différent de D , dont les images respectives par s sont A’, B’, C’ et D’, alors :

A’B’/C’D’ = AB/CD.

Une transformation s est une similitude si et seulement s’il existe un unique réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B, d’images respectives A’ et B’ par s, on a : A’B’=k AB.

Le réel k est appelé le rapport de la similitude.

Deux exemples importants :
– Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k (ne pas oublier les valeurs absolues !).
– Une isométrie est une similitude de rapport 1.

Propriétés des similitudes :

La composée de deux similitudes de rapports k1 et k2 est une similitude de rapport k1 x k2 .

Généralisation : La composée de plusieurs similitudes est une similitude.

La réciproque d’une similitude (qui existe puisqu’une similitude est bijective) de rapport k est une similitude de rapport 1/k.

La composée d’une similitude de rapport k et d’une homothétie de rapport 1/k est une isométrie.

Conséquence :

Toute similitude s(k) de rapport k peut être considérée (et de plusieurs façons) comme la composée d’une homothétie h(k) de rapport k et d’une isométrie f, sous la forme s(k) = h(k) o f ou s(k) = f o h(k) .

Comment être le premier de sa classe ?

Qui ne s’est jamais plaint que le professeur était trop ennuyeux ou que le cours était trop plat ?

Comment être le premier de sa classe ?

Si j’ai un premier conseil à vous donner pour réussir vos études, quel que soit votre niveau, ne vous demander pas comment votre professeur peut se rendre intéressant mais plutôt comment vous, vous pouvez vous rendre intéressant pour votre professeur.

Voici le top 10 des attitudes gagnantes en classe :

  • Soyez ponctuel.
  • Choisissez la place qui vous permettra d’avoir une attention optimale en classe.
  • Dès votre arrivée, sortez vos affaires et montrez-vous prêt à travailler.
  • Éteignez votre téléphone, votre tablette, ou toute autre source de distraction : restez concentré pour être efficace.
  • Développez une méthode efficace pour prendre des notes : pour y arriver, il faut savoir écouter autant le professeur que les autres élèves qui ont des questions à poser.
  • Participez : en répondant aux questions posées par votre professeur mais également en posant vous-même des questions pertinentes. Intervenir en classe est un bon moyen de dynamiser le cours et d’améliorer la compréhension d’un cours.
  • Restez poli et respectueux en particulier lors de discussion de groupe : la classe est un milieu d’apprentissage donc le climat doit être favorable.
  • Réagissez rapidement aux consignes demandées et démontrez de l’intérêt envers les activités et exercices que l’on vous propose en respectant le temps alloué.
  • Impliquez-vous dans chaque tâche.
  • Après chaque cours, faites un résumé de cours pour compléter vos notes. Relisez vos notes avant le cours suivant car un cours, ça se prépare.

Conclusion :

Vous avez tous droits à une éducation de qualité. Démontrer une attitude positive en classe est votre devoir. Même si vous pensez qu’il est déjà trop tard, optez pour le changement, ne vous contentez pas d’assister passivement à vos cours, participez activement.

10 clés de la réussite en classes préparatoires

Voici la liste de 10 conseils pour réussir ses années de classes préparatoires :

  • Être attentif en cours car c’est là que l’essentiel se joue ;
  • Jouer sur la qualité du travail plutôt que sur la quantité ;
  • Poser des questions à son professeur ou à ses camarades ;
  • Ne pas adapter son rythme de travail au rythme des devoirs surveillés ou des interrogations orales, mais être à jour avant chaque cours ;
  • Associer de manière équilibrée les connaissances et les savoir-faire ;
  • Hiérarchiser les connaissances et les savoir-faire enseignés ;
  • Repérer les liens entre les différents domaines de la matière abordés : les méthodes de calculs ou les modes de raisonnement s’assimilent d’autant mieux qu’on les a mis en application dans des contextes variés ;
  • Apprendre de ses erreurs : comprendre une erreur commise doit être un moyen de ne pas la commettre de nouveau et donc de progresser. C’est aussi un moyen de valoriser un échec.
  • Prendre du recul pour prendre du plaisir : l’assimilation de certaines notions peut imposer un travail répétitif qui sera d’autant mieux accepté qu’on aura compris à quoi ce que l’on fait sert.
  • Équilibrer son travail entre les différentes disciplines ; c’est la meilleure assurance contre les aléas des concours.

Voici la vidéo associée à cet article :

Réduction d’endomorphismes

Aujourd’hui, le but de cette vidéo est de répondre à la question qui m’a été posée par un abonné encore tout récemment.

Comment faut-il comprendre l’expression :

Réduire des endomorphismes ou réduire des matrices.

En algèbre linéaire, réduire une matrice revient à réduire l’endomorphisme associé en dimension finie.

La matrice de l’endomorphisme dépend alors de la base choisie pour le représenter, mais tout changement de base donne une matrice semblable.

Qu’est-ce qu’une matrice semblable ?

Deux matrices A et B sont dites semblables si il existe une matrice de passage P telle que A = PBP^-1.

La propriété principale liant deux matrices semblables est :

Deux matrices sont semblables si ils ont même déterminant.

Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : soit une matrice diagonale, dont tous les éléments non diagonaux sont nuls (on parle alors de diagonalisation) ; soit une matrice triangulaire supérieure, dont tous les éléments diagonaux sous-diagonaux sont nul (on parle alors de trigonalisation).

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée :

Problème d’optimisation sur un cylindre

Bonjour, aujourd’hui nous allons traiter ensemble un problème d’optimisation tombé au concours Banque PT en 2003.

Problème d’optimisation

Voici l’énoncé du problème :

Un fabricant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume V donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Voici en quelques lignes de éléments de réponse pour aller au bout de l’exercice :

Notons h la hauteur de cette boîte et D son diamètre. Le volume V est imposé donc h et D vérifient la contrainte :

V = h x Pi x D²/4

La surface S d’une boîte cylindrique vaut :

Surface = aire latérale + 2 x aire du disque

S = Pi x D x h + 2 x Pi x D²/4

Remarque : on suppose l’épaisseur du cylindre constante ; ce qui implique qu’optimiser la quantité de métal, c’est optimiser l’aire totale.

Ainsi, en respectant la contrainte, on peut calculer S en fonction de D seul :

S = Pi/2 x D² + Pi x D x 4 x V / Pi x D² = Pi / 2 x D² + 4V/D

Notons phi(D) = Pi/2 x D² + 4V/D. Phi est dérivable sur ]0 ; +infini[ avec :

phi'(D) = Pi x D – 4V/D² = (Pi x D^3 – 4V) / D²

Donc phi passe par un minimum pour D = (4V/Pi)^(1/3), ce qui donne :

h = 4V/Pi x 1/D² = (4V/Pi)^(1-2/3) = (4V/Pi)^(1/3) = D.

Conclusion de l’exercice :

La boîte optimale est telle que son diamètre égale sa hauteur.

Voici la correction de l’exercice en vidéo :