La récurrence et ses variantes

Démarrons aujourd’hui notre étude de raisonnements mathématiques avec une méthode que certains d’entre vous connaissent sans doute déjà : la démonstration par récurrence. Le fondement de cette méthode sera expliqué ici puis nous vous en présenterons ses différentes variantes. Nous vous indiquerons pour quel type de questions utiliser l’une ou l’autre des variantes de la récurrence. De plus, au travers d’exemples, nous vous exposerons également la façon de rédiger correctement une récurrence.
A cette occasion, nous pointerons du doigt les erreurs fréquentes, à ne pas commettre.

La démonstration par récurrence s’applique dans le cadre suivant :
Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier naturel n. Supposons que l’on vous demande de montrer que :
 – P(n) est vraie pour tous les entiers naturels n.
 – Ou bien que P(n) est vraie pour tous les entiers n supérieurs à un certain entier naturel fixé : n0.

Le principe de la démonstration par récurrence repose sur le cinquième axiome de Péano, que vous nous avons présenté en début de semaine :
Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N tout entier.

Expliquons à présent le principe, lequel se décompose en deux étapes.
On commence tout d’abord par montrer que la propriété P(n) est vraie lorsque n vaut 0.
C’est ce que l’on appelle l’initialisation de la récurrence.
Comme nous le verrons dans les exercices, cette première étape correspond généralement à une simple vérification numérique.
Puis l’on transmet cette propriété de proche en proche d’un entier naturel k à son successeur : l’entier k+1. Autrement dit, on prouve que pour tout entier naturel k, P(k) implique P(k+1). Cette seconde étape s’appelle la propagation ou l’hérédité.
Ainsi, de n=0, la propriété se transmet à n=1, puis de n=1 à n=2. Plus généralement , pour un entier k quelconque, la propriété se propage de l’entier n=k-1 à l’entier n=k, puis de n=k à n=k+1, et ce procédé continue indéfiniment. Tous les entiers seront ainsi atteints.

Évoquons ici une légère variante.
Soit n0 un entier naturel fixé. Si l’on vous demande de démontrer que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n supérieur à n0, l’initialisation se fait en montrant que P(n0) est vraie.
L’hérédité consistera alors à prouver l’implication P(k) implique P(k+1) pour tout entier k supérieur ou égal à n0.
Passons à un exemple pour voir la méthode en action et apprendre à rédiger correctement la récurrence.
Montrons que pour tout entier naturel n et tout réel x positif, (1+x) puissance n est supérieur ou égal à 1+nx.
Le premier travail consiste à identifier puis à poser la propriété P(n).
Il s’agit ici de « pour tout réel x positif, (1+x) puissance n supérieur à 1+nx. » Noter que l’on ne doit surtout pas inclure le « pour tout n dans N » dans l’expression de P(n) : ce serait une faute majeure de raisonnement, faute que l’on retrouve souvent dans les copies.
Ecrire P(n) signifie que l’on regarde la propriété à un rang n donné.
En revanche, il est indispensable de préciser dans P(n) le domaine de validité des autres variables.
Dans notre exemple, on doit donc inclure dans P(n) : « pour tout x dans R puissance +. » P(n) étant posée, débutons la récurrence proprement dite.
– Première étape : on initialise en vérifiant que la propriété est vraie pour n=0. Pour tout réel x de R puissance +, on calcule (1+x) puissance 0 qui vaut 1 et est donc bien supérieur ou égal à 1+0.x. La propriété P(0) est donc vérifiée.
 – Passons à la seconde étape : l’hérédité.
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel k quelconque. Montrons, par implication, que la propriété est alors vraie au rang k+1. Pour tout réel x positif, on écrit (1+x) puissance (k+1) sous la forme (1+x) puissance k fois (1+x).
Or, par hypothèse de récurrence P(k), on sait que (1+x) puissance k est supérieur à 1+kx. En multipliant membre à membre cette inégalité par 1+x qui est positif, on trouve (1+x) puissance (k+1) supérieur à (1+kx).(1+x) autrement dit (1+x) puissance (k+1) supérieur à 1+(k+1).x+k.x puissance 2.
Or, comme kx puissance 2 est positif, cette dernière quantité est supérieure à 1+(k+1)x Ceci prouve la propriété pour l’entier k+1.
 – Par le principe de récurrence, on peut conclure que pour tout n entier naturel et tout x réel positif, (1+x) puissance n est supérieur ou égal à 1+nx.

Par opposition à cette récurrence dite simple, il existe d’autres formes de récurrence dites fortes.
Celle-ci sont employées lorsque la seule hypothèse P(k) ne suffit pas à prouver P(k+1).
Commençons par exposer le principe de récurrence double.
On veut démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier n0, une propriété P(n) est vraie.
Dans l’étape d’initialisation, on montre que P(n0) mais aussi P(n0+1) sont vérifiées.
Puis, dans l’étape d’hérédité, on montre l’implication suivante
 – si la propriété est vraie pour deux entiers consécutifs k et k+1, avec k supérieur à n0, alors elle est vraie pour l’entier suivant : k+2.
 – Par principe de récurrence double, on conclut alors que la propriété est vérifiée pour tout entier n plus grand que n0.

Enchainons tout de suite avec un exemple.
Soit (un) la suite réelle définie par la donnée de u0=1, u1=2 et par la relation suivante : pour tout entier naturel n, u(n+2)= 5u(n+1)-6un.
 – Il s’agit de montrer que pour tout entier n, un=2 puissance n.
Le premier travail est d’identifier la propriété P(n) à démontrer par récurrence.
Ici, c’est facile : il s’agit de un=2 puissance n .
 – On initialise la propriété pour les entiers n=0 et n=1.
D’après l’énoncé, u0=1 ce qui est bien égal à 2 puissance 0 : donc P(0) est vraie.
Toujours, d’après l’énoncé, u1=2 ce qui est bien égal à 2 puissance 1 : donc P(1) est vraie.
 – Passons à l’hérédité. Supposons la propriété vérifiée pour les entiers k et k+1.
 – Démontrons alors que la propriété est vraie pour l’entier k+2. D’après l’énoncé, u(k+2)= 5u(k+1)-6uk. En utilisant les hypothèses de récurrence P(k) et P(k+1), on transforme ceci en u(k+2)=5.2 puissance {k+1}-6.2 puissance {k} Soit 5.2 puissance {k+1}-3.2.2 puissance k. En factorisant, on obtient 2 puissance {k+1}. [5-3] donc 2 puissance {k+1}.2=2 puissance {k+2}. Ceci prouve que P(k+2) est vérifiée.
 – On conclut qu’en vertu du principe de récurrence double, la propriété P(n) est vraie pour tous les entiers naturels n.

Mais comment repérer que l’on doit faire une récurrence double, et non pas simple ? Ici, c’est relativement facile : voyez dans l’expression de la suite donnée dans l’énoncé, qu’un terme s’exprime en fonction des deux précédents.
Autrement dit, u{n+2} s’écrit en fonction de u{n+1} et de u{n} : c’est ce qui doit vous guider vers une récurrence double.
Le principe de récurrence double peut se généraliser de la façon suivante.
On veut montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n0, une propriété
P(n) est vraie.
Dans l’étape d’initialisation, on montre que P(n0) est vraie.
Puis, dans l’étape d’hérédité, on montre l’implication suivante :
 – si la propriété est vraie pour tous les entiers compris entre n0 et k, alors elle est vraie pour l’entier : k+1.
 – Par principe de récurrence dite forte, on conclut alors que la propriété est vérifiée pour tout entier n plus grand que n0.

Illustrons cette méthode par un exemple. On considère la suite réelle (un) définie par la donnée de son premier terme u0=1 et par la relation suivante : pour tout entier naturel n, u{n+1} est la somme des termes précédents, c’est-à-dire u0+u1+…+un.
On peut noter cette somme avec la notation Sigma que certains d’entre vous connaissent sans doute déjà.
L’exercice consiste à montrer que pour tout entier naturel n non nul, un= 2 puissance {n-1}.
Comme ici, un terme de la suite est exprimé en fonction de TOUS les termes qui le précèdent, on s’oriente vers une récurrence forte.
Comme précédemment, le premier travail consiste à poser la propriété P(n) à démontrer : il s’agit ici de un=2 puissance {n-1}.
 – Passons ensuite à l’étape d’initialisation.
Comme l’énoncé nous indique que l’on doit prouver la propriété pour tout entier dans N*, l’initialisation se fait pour n=1. Toujours d’après l’énoncé, u1=u0=1 qui est bien égal à 2 puissance 0 autrement dit 2 puissance {1-1}.
Ceci prouve que P(1) est vraie.
 – Passons à l’hérédité.
Soit k un entier non nul.
Supposons la propriété vraie pour tous les entiers compris entre 1 et k.
D’après l’énoncé, u{k+1} est égal à la somme de u0, u1, u2… jusqu’à uk.
On sait d’ores et déjà que u0 vaut 1.
Par hypothèses de récurrence P(1), P(2) jusqu’à P(k), cela donne 1+2 puissance 0+2 puissance 1+….2 puissance {k-1}, autrement dit 1+ la somme des 2 puissance j, pour j variant de 0 à k-1.

D’après la formule donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique, on obtient 1+(1-2 puissance k)/(1-2). u{k+1} vaut donc 1-(1-2 puissance k), c’est-à-dire : 2 puissance k.
On a donc prouvé P(k+1), ce qui achève l’hérédité, et, par là-même, la récurrence.
Nous venons de vous expliquer comment mettre en œuvre une récurrence pour démontrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n de N.
Et si l’on veut prouver une propriété pour tous les entiers n de Z, me direz-vous ? Étudions ce cas de figure sur un exercice.
On considère une fonction f de R puissance +* dans R vérifiant les hypothèses f(1)=0 et pour tout couple de réels x et y strictement positifs, f(x.y)=f(x+y).
On demande de montrer premièrement : que pour tout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, f(x puissance n)=nf(x).
Deuxièmement, on demande de propager la relation de N à Z, c’est-à-dire que montrer pour tout entier n dans Z cette fois et pour tout réel x strictement positif, f(x puissance n)=nf(x).
Vous aurez peut être reconnu ici les propriétés de la fonction logarithme népérien ln…
 – La première question se résout par une récurrence simple, en posant pour P(n) la propriété : « pour tout réel x strictement positif, f(x puissance n)=nf(x).
Je vous laissons rédiger la récurrence.
Passons à la seconde question.
Faisons une disjonction de cas.
 – Si l’entier n est dans N, la première question donne la réponse.
 – Si l’entier n est dans Z privé de N, on pose alors m=-n.
 – L’entier m est donc dans N, ce qui va permettre de se ramener à la première question. Expliquons de quelle manière.
 – Soit x un réel strictement positif.
 – On commence par appliquer la relation donnée par l’énoncé à x et à -x.
 – Comme f(1)=0, cela donne 0=f(1)=f(x .1/x)=f(x)+f(1/x).
 – On en déduit que pour tout réel x>0, f(1/x)=-f(x).
 – Ainsi, pour tout x strictement positif, f(x puissance n)=f(x puissance {-m})=f(1/xpuissance m) =-f(x puissance m), d’après ce que l’on vient de démontrer.
 – Par la question 1, comme m est dans N, -f(x puissance m)=-mf(x)=nf(x) : c’est ce qu’il fallait démontrer.
 – On constate donc que l’on ne fait pas de récurrence sur Z mais que l’on propage la relation de N à Z par le changement de variable m=-n. Cette petite astuce est à retenir.

Ceci achève la séquence consacrée aux méthodes de démonstration par récurrence.
A très bientôt.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Quadriques

L’intérêt de ce cours est d’acquérir des notions sur les quadriques.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une quadrique ou surface quadratique est une surface de l’espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2 les coefficients A à J étant réels, avec A, B, C, D, E, F non tous nuls.

Géométriquement, les quadriques sont en quelque sorte à l’espace ce que les coniques sont au plan.

Pourquoi alors ne pas cliquer sur l’image ci-dessous pour en savoir plus.

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Des précisions sur le nouveau programme de maths du lycée [Baccalauréat 2021]

Deux nouvelles spécialités sont à découvrir et à choisir si vous souhaitez poursuivre vos études en mathématiques en classes de première et terminale :

  • Maths complémentaires ;
  • Maths expertes.

Les objectifs du nouveau programme sont :

Le programme insiste beaucoup plus sur la partie algorithmique des mathématiques. À chaque chapitre, un ou plusieurs algorithmes seront présentés ce qui permettra d’aborder les notions de façon plus concrètes.

Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à :
– décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;
– en réaliser quelques-uns à l’aide d’un tableur ou d’un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ;
– interpréter des algorithmes plus complexes.
Aucun langage, aucun logiciel spécifique n’est imposé.

L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (algèbre et analyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines.

De manière générale, le nouveau programme de mathématiques au lycée est bien plus ambitieux que l’ancien programme.

Pour ceux qui souhaitent continuer en prépa, le nouveau programme de mathématiques couvre à présent une certaine partie du programme de première année de classe préparatoire ou de licence. Ainsi la transition Terminale/Prépa ou L1 devrait être moins brutale pour les élèves sérieux et travailleurs.

N’hésitez pas à partager vos propres conseils en commentaire. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.

Négation, conjonction et disjonction

En mathématiques, pour relier les propriétés entre elles et en créer de nouvelles, avec des sens nouveaux, on trouve ce qu’on appelle des connecteurs.
Nous allons ici les introduire en faisant référence à chaque fois aux opérations ensemblistes que nous avons étudiées.

Considérons E un ensemble non vide et P(x) une propriété de la variable x, élément de E. Comme nous l’avons expliqué précédemment, cette propriété caractérise un sous-ensemble A de E : celui constitué de tous les éléments x de E pour lesquels P(x) est vraie. Cet ensemble A admet un complémentaire dans E : A barre. On considère alors la propriété Q(x) tel que A barre est l’ensemble des x de E pour lequel Q(x) est vraie. La propriété Q(x) s’appelle la négation de P(x) et se note ainsi. Ceci se lit non P(x) ou non P, en omettant la variable. Prenons par exemple pour E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un nombre pair ». L’ensemble A des éléments de E vérifiant la propriété P est l’ensemble des entiers pairs. Le complémentaire de A dans E est donc l’ensemble A barre, des entiers impairs. La négation de la propriété P(x) est donc la propriété : « x est un nombre impair ». Nous avons vu que pour une propriété, la valeur de vérité dépend des valeurs prises par la variable. Comparons les valeurs de vérité de P(x) et de sa négation non P(x). Reprenons notre exemple précédent avec la propriété P(x) « x est pair ». Dans le tableau, on remarque que P(5) est fausse et (non)(P)(5) est vraie tandis que P(4) est vraie et (non) (P)(4) est fausse.
On peut à présent écrire la table de vérité de la négation d’une propriété P. Dans la colonne de gauche, on écrit les valeurs de vérité de P. Dans la colonne de droite, on écrit, dans chaque cas, les valeurs de vérité de sa négation.
On remarque que P est vraie lorsque sa négation est fausse et qu’à l’inverse, P est fausse lorsque sa négation est vraie. Ce tableau de vérité de la négation est calqué sur celui indiquant le lien entre un ensemble et son complémentaire.
Ainsi, si x est dans A, x n’appartient pas à A barre. Et si x n’est pas dans A, x appartient à A barre. Ce que nous vous expliquons là est une construction de la négation à partir de la théorie des ensembles.

Dans la pratique, vous n’aurez pas besoin de repasser à chaque fois par le sous ensemble correspondant pour écrire la négation d’une propriété. Il vous suffira de nier la propriété comme on le fait en français en passant de la forme affirmative à la forme négative. Ainsi, la négation de la propriété « M est une matrice inversible » est « M n’est pas une matrice inversible ». La négation de la propriété «f est une fonction continue sur l’intervalle I » est « f n’est pas une fonction continue sur I», autrement dit f est discontinue sur I.

Mais, attention aux erreurs classiques : la négation de la propriété « f est une fonction croissante sur I » est « f n’est pas une fonction croissante sur I », et surtout pas « f est une fonction décroissante sur I ».

Passons à un deuxième connecteur : la conjonction.

Nous allons définir celui-ci à partir de l’intersection des sous ensembles. Soit E un ensemble non vide. Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x de E. Soit A l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie.
L’intersection de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels les propriétés P(x) et Q(x) sont vraies. Notons R(x) la propriété telle que A inter B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie.
La propriété R(x) est appelée la conjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi, ce qui se lit P(x) et Q(x), souvent abrégé en P et Q, en omettant la variable. Écrivons à présent la table de vérité de la conjonction. La conjonction de P et de Q est vérifiée lorsque les propriétés P et Q le sont. Si l’une ou l’autre est fausse, comme ceci, ou comme cela, ou si les deux sont fausses, alors la conjonction est fausse.
Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon
l’appartenance de l’élément x à A et à B, son appartenance à A inter B. En remarquant que les vrais correspondent à des symboles « appartient » et les faux à des symboles
« n’appartient pas », on voit l’analogie des situations : sur la dernière ligne, les deux précédentes ou encore la première. Passons à un exemple.
Plaçons-nous dans E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un entier pair » et Q(x) la propriété « x est un multiple de 3 ». Cherchons la conjonction de P et de Q en passant par les ensembles associés. Chacune de ces propriétés définit un ensemble Pour P, il s’agit de l’ensemble A des entiers x de N tel qu’il existe un entier n tel que x=2n et pour Q, il s’agit de l’ensemble B des entiers x de N tel qu’il existe un entier m tel que x=3m.
Montrons que l’intersection des ensembles A et de B est égal à l’ensemble, noté C, des entiers multiples de 6. Pour cela, procédons par double inclusion. Supposons d’abord que l’entier x est dans l’ensemble C : x est donc un multiple de 6. Il s’écrit alors sous la forme x=6k, où k est un entier. Cette écriture montre que x est un multiple de 2 et de 3. L’entier x est donc dans A inter B.
Supposons à présent que x est dans A inter B. Il existe donc un entier n tel que x=2n et un entier m tel que x=3m. Ainsi, 2n=3m. Comme 2 divise 2k, 2 divise 3m. Puisque 2 et 3 sont deux entiers premiers entre eux, le lemme de Gauss implique que 2 divise m.
Il existe ainsi un entier p tel m=2p. On en déduit que x=3m=6p. Donc x est un multiple de 6. Ainsi, l’élément x est dans C. On conclut par double inclusion que A inter B est égal à C, l’ensemble des entiers multiples de 6. En revenant aux propriétés, on en déduit que la conjonction de P(x) et de Q(x) est la propriété « x est un multiple de 6 »

Passons à un troisième et dernier connecteur : la disjonction, connecteur lié à l’union ensembliste. Soit E un ensemble non vide.
Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x. On considère à nouveau A : l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B : l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie. L’union de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels P(x) ou Q(x) est vraie. Notons R(x) la propriété telle que A union B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie. La propriété R(x) est appelée la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi ce qui se lit P(x) ou Q(x), souvent abrégé en P ou Q, en omettant la variable x.
Écrivons la table de vérité de la disjonction. Si l’une ou l’autre des propriétés P et Q sont vraies, leur disjonction est vraie. La disjonction est fausse que si P et Q sont toutes les deux fausses. Bien sûr, la disjonction P ou Q est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies : le « ou » n’est donc pas exclusif. Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon l’appartenance d’un élément x à A et à B, son appartenance à A union B.

Comme on l’a déjà constaté dans le cas de la conjonction, on note l’analogie entre
les lignes des tableaux : la dernière, les deux du milieu et la première. Passons à un exemple. Soit E l’ensemble des réels. Soit P(x) la propriété « x^2 est supérieur ou égal à 1 », et Q(x) la propriété « exponentielle (x) est inférieur ou égal à 1 ».

Cherchons la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) en passant par les ensembles associés. A l’ensemble des réels x vérifiant la propriété P est égal à ]-infini, -1]union [1, +infini[. B l’ensemble des réels x vérifiant la propriété Q est quant à lui égal à ]-infini, 0]. L’union de A et de B correspond à l’union des trois intervalles ]-infini, -1] union [1, +infini[ union ]-infini, 0], ce qui donne la réunion des intervalles ]-infini,0] et [1,+infini[ .
La disjonction de P(x) et Q(x) est donc la propriété « x est négatif ou supérieur ou égal à 1». Terminons par une petite devinette. Soit P(x) une propriété de la variable x de E. Soit Q(x) sa négation. Que dire de la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) ? Et que dire de leur conjonction ? Vous avez trouvé ? Passons par les ensembles. Soit A l’ensemble des éléments qui vérifient P. Soit B l’ensemble des éléments qui vérifient Q. Alors, B est le complémentaire de A. Il suit que A union B est égal à E tout entier. Ainsi, la disjonction de P(x) et de Q(x) est toujours vraie : on dit que c’est une tautologie. Toujours par caractérisation du complémentaire, A inter B est égal l’ensemble vide.
La conjonction de P et de Q n’est donc jamais vérifiée : c’est une propriété toujours fausse. Ceci porte le nom de contradiction. Nous verrons dans un prochain cours que tautologies et contradictions jouent un rôle assez important dans les raisonnements mathématiques.


Nous venons de vous présenter les trois principaux connecteurs logiques : la négation, la conjonction et la disjonction que nous avons défini à partir des opérations ensemblistes : la négation correspond au complémentaire, la conjonction à l’intersection et la disjonction à l’union.


Dans la pratique, on pourra écrire ces connecteurs sans revenir systématiquement aux opérations ensemblistes sous-jacentes la négation consistant, comme son nom l’indique, à prendre la négation de la propriété considérée, la conjonction consistant à relier les propriétés par la conjonction de coordination « et » et la disjonction à les relier par la conjonction de coordination « ou ».

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Cardinal d’un ensemble fini

Dans cette dernière séquence consacrée à la théorie des ensembles, nous nous intéresserons tout d’abord au nombre d’éléments qui constituent un ensemble, ce que l’on appelle son cardinal.

Un ensemble est dit fini s’il contient un nombre fini d’éléments. Donnons comme exemple d’ensemble fini l’ensemble des entiers compris entre 1 et 10. Mais si l’on considère l’ensemble des réels compris entre 1 et 10, l’ensemble devient infini.
On appelle cardinal d’un ensemble fini le nombre d’éléments qu’il contient. Ce concept de cardinal a été l’objet des travaux du mathématicien allemand Georg Cantor.
Le cardinal d’un ensemble E est noté Card(E) ou avec la notation dièse #9.

Prenons des exemples.
 – Le cardinal de l’ensemble des jours de la semaine est sept.
 – Le cardinal de l’ensemble {0,2,3,5} est quatre , de même que celui de l’ensemble {2,0,3,5,0,2,2} puisque dans un ensemble, les répétitions des éléments ne sont pas comptabilisées.
 – Le cardinal de l’ensemble vide est par convention égal à 0, puisque l’ensemble vide ne contient aucun élément.
 – Lorsqu’un ensemble A est de cardinal fini n, il peut être utile dans le cadre d’un exercice de numéroter ses éléments sous la forme x_1,x_2,….x_n. Comme il n’y a pas d’ordre dans un ensemble, la numérotation des éléments est indifférente.

Voici un premier résultat assez évident sur les cardinaux :
 – Si A est un sous-ensemble d’un ensemble fini E, alors A est lui aussi un ensemble fini et son cardinal est inférieur à celui de E.
 – D’autre part, dans le même contexte, c’est-à dire si A est un sous-ensemble de l’ensemble E et si le cardinal de A est égal au cardinal de E, alors les ensembles A et E sont égaux.
 – Ainsi, pour montrer que deux ensembles finis sont égaux, plutôt que de procéder par double inclusion comme nous l’avions fait dans les séquences précédentes, on pourra montrer une inclusion entre les deux ensembles, puis l’égalité de leurs cardinaux.

Énonçons une nouvelle propriété :
 – Soit A et B sont deux ensembles finis disjoints (c’est-à-dire dont l’intersection est vide).
Alors, leur union est encore un ensemble fini et le cardinal de cette union est égal à la somme des cardinaux de chacun d’eux.

Retenez la formule :

Cardinal(A union B) = cardinal(A) + cardinal(B).

Démontrons cette propriété.
On se place dans le cas où ni A ni B n’est l’ensemble vide, auquel cas il n’y aurait rien à démontrer.
Notons p le cardinal de A et q le cardinal de B.
On écrit alors A={x1,x2, …xp} et B={y1,y2,…,yq}.
Tout élément de A union B est donc soit un xi appartenant à A, soit un yj appartenant à B.

Ceci prouve que l’ensemble A union B est égal à l’ensemble {x1,x2, …xp,y1,y2,…yq}.
Comme deux ensembles égaux ont le même cardinal, le cardinal de A union B est donc égal au cardinal de l’ensemble [x1,x2, …xp,y1,y2,…yq]. Celui-ci vaut p+q car les éléments x_i et y_j sont distincts entre eux puisque A et B n’ont aucun élément en commun.
On conclut que le cardinal de (A union B) est égal à p plus q, c’est-à-dire au cardinal de A plus le cardinal de B.
En application de la propriété précédente, voici une petite devinette : si A est un sous-ensemble d’un ensemble fini E, quel est le cardinal du complémentaire de A ?
On sait que A union A barre = E et que A inter A barre est l’ensemble vide, ce qui revient à dire que A et A barre sont deux ensembles disjoints.
En utilisant la propriété précédente, on peut donc écrire que le cardinal de E est égal au cardinal de (A union A barre) donc au cardinal(A) + le cardinal (A barre) si bien que le Card(A barre)=card(E)-card(A).

Le résultat précédent se généralise de la façon suivante. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Soit A1, A2…, An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors le cardinal de leur union est égal à la somme des cardinaux de chacun des Ai.
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre n de sous ensembles.
L’initialisation se fait pour n=2 : on sait déjà que le cardinal de A_1 union A_2 est égal au cardinal de A_1 plus le cardinal de A_2.
Démontrons à présent l’hérédité.
Supposons la propriété vérifiée pour n ensembles deux à deux disjoints.
Prenons A1,A2…An, et An+1 (n+1) ensembles deux à deux disjoints.
Par propriété de distributivité, l’intersection de l’union des Ai pour i allant de 1 à n et de A_n+1 est égal à l’union pour i allant de 1 à n des intersections des A_i et de A_n+1.

Puisque i est différent de n+1, chaque intersection de A_i et de A_n+1 est vide, on obtient donc l’ensemble vide.
Ceci prouve que l’union des Ai pour i allant de 1 à n et A_n+1 sont deux ensembles disjoints.
En utilisant le cas n=2, on peut donc écrire que le cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n+1 qui est égal au cardinal de l’union pour i allant de 1 à n union A_n+1 est égal au cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n + le cardinal de A_n+1.
On utilise alors l’hypothèse de récurrence au rang n pour transformer la première quantité et l’on obtient que le cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n+1 est égal à la somme pour i allant de 1 à n des cardinaux des A_i auquel on ajoute le cardinal de An+1. Il n’y a plus qu’à faire rentrer le dernier terme dans la somme pour obtenir la formule à démontrer.
Ceci prouve la propriété au rang n+1 et achève l’hérédité de notre récurrence. Et si les sous-ensembles A et B de E ne sont pas disjoints ? On a alors le résultat suivant : le cardinal de A union B est égal à la somme des cardinaux de A et de B à laquelle on retire le cardinal de A inter B.

Pour compter les éléments de A union B, on ajoute les éléments de A (les croix) et les éléments de B (les ronds) mais , ce faisant, on remarque que les éléments qui sont dans A et dans B, donc dans l’intersection (en jaune), ont été comptés deux fois. Il faut donc les retirer.

Démontrons le résultat annoncé.
On établit tout d’abord une première formule qui est la suivante Card( A privé de B) = card(A)-card(A inter B). On rappelle que A privé de B n’est autre que A inter B barre.
Pour démontrer la formule, commençons par
 – déterminer A privé de B union (A inter B) qui est égal à (A inter B barre ) union (A inter B), ce qui donne : A inter (B barre union B) soit A inter E, ce qui vaut A.
 – Puis on calcule A privé de B inter (A inter B) qui est égal à (A inter B barre ) inter (A inter B), ce qui donne par associativité et commutativité de l’intersection, A inter (B inter B barre), soit A inter l’ensemble vide, ce qui vaut l’ensemble vide.
 – On applique alors à (A privé de B) et à (A inter B) la propriété qui donne le cardinal de l’union de deux ensembles disjoints.
 – Ainsi le cardinal de A qui est égal au cardinal de l’union de ces deux ensembles est égal à Card(A privé de B)+Card(A inter B). Ceci donne la première formule.
Il reste à en déduire la formule annoncée.
On montre comme ci-avant que (A privé de B) inter B est l’ensemble vide et que (A privé de B) union B est égal à A union B.

Les ensembles étant disjoints, on a donc Card(A union B)= card(A privé de B)+Card(B), ce qui grâce à la formule précédente, donne Card(A union B) = Card A – Card(A inter B)+ Card(B). En réordonnant les termes dans le membre de droite, on reconnait l’égalité annoncée.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Voilà pour l’article sur les cardinaux d’ensembles finis, n’hésitez pas à réagir au sujet en commentaire. A très vite.

Notion d’ensembles et de sous-ensembles

Le cours d’aujourd’hui sera consacré à la théorie des ensembles.
Nous allons définir la notion d’ensemble et de sous-ensemble. Ces deux notions sont essentielles à la formalisation du raisonnement mathématique. La définition précise de la notion d’ensemble dépasse très largement le cadre de ce cours.
Nous nous contenterons ici d’une définition dite naïve qui est celle d’usage lorsque l’on débute des études en mathématiques.

Commençons par quelques définitions.
On appelle ensemble une collection d’objets. Ces objets s’appellent les éléments de l’ensemble. Lorsque est un élément de l’ensemble E, on dit que x appartient à E. Lorsque n’est pas un élément de E, on dit que x n’appartient pas à E.
Par définition, deux ensembles A et B sont égaux s’ils contiennent les mêmes éléments.
L’ensemble qui ne contient aucun élément, appelé l’ensemble vide.
De plus, dire qu’un élément x appartient à l’ensemble vide équivaut à dire qu’un tel élément n’existe pas. Par exemple, il n’existe aucun réel x vérifiant l’équation x^2+1=0, ce que l’on exprime, comme vous le savez sûrement, en disant que l’ensemble E des solutions de cette équation est l’ensemble vide.

Voici quelques exemples d’ensembles que vous connaissez déjà : l’ensemble des entiers naturels noté grand N, l’ensemble des entiers relatifs noté grand Z et l’ensemble des nombres réels noté grand R.

Pour définir un ensemble, on peut énumérer les éléments qui le constituent entre accolades, par exemple : l’ensemble E= {0,1,2,3,4,5}.

On peut également donner une propriété qui caractérise notre ensemble : par exemple, E est l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 5.

Voici un second exemple : l’ensemble des nombres entiers naturels pairs se définit en extension par E={0,2,4,6,…} et ainsi de suite ou bien en compréhension en disant que E est l’ensemble des entiers naturels multiples de 2.

Dans le cas d’une définition en extension, l’ordre n’a pas d’importance. Ainsi, les ensembles {0,1,2,3,4, 5} et {5,4,1,2,0,3} sont identiques.

D’autre part, les éléments d’un ensemble ne sont jamais répétés.
L’ensemble des solutions de l’équation x^2-2x+1=0 est l’ensemble constitué du seul élément 1. Ainsi on n’écrira jamais l’ensemble {1,1} .
Un ensemble peut être vide (c’est l’ensemble vide), il peut être fini ou infini comme N.

Une petite devinette : Combien d’éléments contient l’ensemble vide ?
Il n’est pas vide puisqu’il contient l’ensemble vide.
Il contient donc un seul élément qui est l’ensemble vide.

Passons maintenant à la définition de sous-ensembles. Soient A et E deux ensembles.
On dit que A est inclus dans E si tout élément de A est aussi un élément de E.
On dit alors que A est un sous-ensemble de E ou alors une partie de E.
Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des réels.

Remarquons que l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Pourquoi ? On se rappelle que pour montrer qu’un ensemble F est inclus dans A, on montre que tous les éléments de F appartiennent également à A.
Comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, ici, il n’y a rien à vérifier.
La propriété est donc établie ! Cette propriété qui a l’air d’être élémentaire va être fréquemment utilisée dans des raisonnements ultérieurs, voilà pourquoi nous la mentionnons dès cette première séquence.

Prouver l’égalité de deux ensembles est un enjeu essentiel dans la résolution des exercices et problèmes mathématiques.
Ainsi, lorsque l’on vous demande de résoudre une équation, vous ne vous en rendez peut-être pas compte, mais vous démontrez l’ égalité entre deux ensembles.

Nous illustrerons ce point dans un prochain exemple.
Commençons par expliquer la méthode pour prouver l’égalité entre deux ensembles.
L’égalité entre deux ensembles A et B se montre en deux temps : on prouve d’abord que A est inclus dans B en montrant que tout élément de A appartient à B, puis on prouve que B est inclus dans A en montrant que tout élément de B appartient à A.

Exemple :
Montrons que les deux ensembles suivants sont égaux. Soit A l’ensemble des solutions de l’équation du second degré x^2-1=0 et B l’ensemble constitué des réels -1 et 1.
Démontrons cette égalité d’ensemble par double inclusion.
Soit x un élément de A.
Alors x vérifie x^2-1=0 ce qui se réécrit (x-1)(x+1)=0.
Or, dans R, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc x est égal à 1 ou x est égal à -1.
Ainsi, x est bien un élément de B.
Montrons à présent la seconde inclusion Prenons x élément de B.
Soit x est égal à -1 alors son carré est égal à 1 donc x appartient à A . Soit x est égal à 1 et son carré est aussi égal à 1, ainsi x est un élément de A.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Les préjugés sur l’apprentissage en prépa

Le titre de cet article est très inspirant. En effet, lorsque l’on baigne dans le milieu ou que l’on fonde nos espoirs et/ou que l’on se fixe pour ambition d’intégrer une grande école d’ingénieurs, c’est quasi automatique, des idées reçues ressurgissent. Alors comment s’en défaire ? Comment garder notre optimisme d’enfant et se parer à toute éventualité pour aller au bout de notre rêve ?

Avant de démarrer sur les préjugés, intéressons-nous d’abord à ce que l’on qualifie de grande école.

Qu’est-ce qu’une grande école ?

Une grande école est un établissement de formation supérieure qui délivre un diplôme conférant le grade de master, qui sélectionne ses étudiants sur des critères en cohérence avec les enseignements qu’ils recevront et les débouchés professionnels des disciplines enseignées.

Passons maintenant aux idées reçues :

Préjugé n°1 : Les classes prépas ne concernent que les premiers de la classe.

Indépendamment du lycée d’origine, un assez bon niveau et des bases solides sont nécessaires pour réussir en classe préparatoire mais le potentiel est une dimension importante.

Préjugé n°2 : Les classes prépas sont un système performant pour tous.

Les CPGE ne conviennent pas à tous les élèves. Les méthodes pédagogiques répondent aux attentes d’élèves qui ont besoin ou qui apprécient les sollicitations pour avancer.
En revanche, ceux qui en ont la volonté doivent pouvoir intégrer une classe prépa s’ils le souhaitent.

Préjugé n°3 : Les classes préparatoires sont un système fermé.

Le recrutement en CPGE suit une procédure nationale, défi nie et organisée par le ministère de l’Éducation nationale, et basée sur les résultats de première et terminale des candidats. Cette procédure assure une équité parfaite dans la sélection des élèves.

Préjugé n°4 : Le niveau de sélection est tel qu’il dessert les classes sociales les moins favorisées.

On retrouve la même tendance dans les autres branches.

Préjugé n°5 : Les classes préparatoires créent des inégalités.

Les classes prépas ne créent pas d’inégalités, elles héritent de celles générées par le système d’enseignement primaire et secondaire et réussissent même à les atténuer.

Préjugé n°6 : Les classes préparatoires n’accueillent pas les boursiers.

Il y a davantage de boursiers (sur critères sociaux) en classes prépas qu’à Sciences Po Paris.

Préjugé n°7 : Il existe une compétition importante entre les élèves.

Pour un nombre très réduit d’écoles très sélectives et prises, la performance au concours est essentielle mais pour plus de 90% des écoles les concours sont davantage un système d’affectation dans lequel une réussite est quasi certaine.

Préjugé n°8 : Une approche essentiellement théorique.

Les CPGE apportent une base théorique nécessaire à la formation des ingénieurs et managers en cinq ans. L’approche expérimentale tient également une place privilégiée afin de pouvoir justifier les modèles et valider les résultats, tout particulièrement dans les filières PC, PSI, PT.

Préjugé n°9 : Les élèves de CPGE sont des bêtes à concours formatés.

L’intelligence et l’esprit critique sont recherchés dans les épreuves de concours aux grandes écoles. La réflexion est donc cultivée pendant les deux années de CPGE. Pour résoudre un exercice qui sera toujours nouveau (pas de bachotage donc), il faut d’abord le comprendre, imaginer une solution possible, la tester (parfois expérimentalement)
et, toujours, critiquer le modèle utilisé. La recherche du bon modèle, suffisamment simplifié tout en restant adapté à une situation, voire généralisable à d’autres, fait partie des compétences essentielles que doit avoir un futur scientifique.

Préjugé n°10 : Les élèves apprennent sans comprendre.

Leur réussite dépendra de ce qu’ils ont assimilé en termes de réflexion et des méthodes de travail et de synthèse, en complément bien évidemment des connaissances apprises.
Les connaissances sont essentielles mais leur mise en œuvre est le cœur de la créativité et de l’innovation.
Une seule solution pour réussir : avoir compris.

Préjugé n°11 : Des élèves broyés et déprimés par le système.

Les élèves travaillent dur mais ils savent que leur travail portera ses fruits et qu’ils réussiront. Peu de formations ont un tel taux de réussite.
Il faut garder en mémoire qu’obtenir un master n’est pas chose aisée : dans quelque filière que ce soit, il faudra travailler sérieusement.

Les élèves doivent s’organiser dans leur travail pour pouvoir se réserver du temps libre pour leurs activités extra-scolaires. À défaut de réellement progresser, tout sportif, artiste ou musicien peut espérer maintenir son niveau. Il pourra ensuite certainement aller de l’avant une fois dans une grande école.

Préjugé n°12 : Les classes préparatoires n’existent qu’en France.

Différents pays qui ont été associés à la culture française ont un dispositif de CPGE et on voit apparaître des demandes de création de CPGE dans de nouveaux pays (Luxembourg, USA, Irlande…)
Le Maroc s’inspire désormais entièrement de ce modèle pour la formation de ses ingénieurs ; des prépas existent en Tunisie, au Gabon, en Côte d’Ivoire, en Turquie, en Autriche et bientôt une à New-York.
Des enseignants de CPGE sont par ailleurs recrutés par des pays qui importent ce modèle sous une forme plus locale en Chine.
Bien que le système des CPGE soit peu connu à l’étranger, les grandes entreprises internationales connaissent la valeur d’un ingénieur français.

Si vous avez des remarques à faire, n’hésitez surtout pas, ça me fera plaisir. A très vite.

Axe et centre de symétrie

Pour la séance d’aujourd’hui, cap sur les fonctions avec un rappel de cours sur les symétries. Comment déterminer un axe ou bien un centre de symétrie d’une courbe ? La reconnaissance d’un centre ou d’un axe de symétrie pour une courbe définie par y = f(x) en coordonnées cartésiennes n’est pas toujours évidente.

Vous trouverez dans la vidéo qui va suivre définitions et exemples pour vous faire assimiler cette notion.

Pour ce faire, on va considérer f une fonction définie sur son domaine de définition et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal classique. Dans un premier temps, on veut démontrer que la courbe Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie, puis, dans un second temps, on démontrera que Cf admet le point I(a ; b) comme centre de symétrie. Voici le cours en vidéo.

  • Cours en vidéo :
  • Questions :

N’hésitez pas à partager vos propres conseils en commentaire. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.

Suites de récurrence

La vidéo d’aujourd’hui traite des suites de récurrence. Une suite récurrente est définie par la relation de récurrence suivante : u(n+1) = f(u(n)), où f : D → R est continue et u(0) ∈ I un intervalle de R. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques.

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous. N’hésitez pas à la partager.

  • Cours en vidéo :
  • Questions, remarques ou commentaires :

N’hésitez pas à donner votre avis ou à poser une question. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article. S’il y a toujours des incompréhensions même après avoir visionné la vidéo, si vous ne savez toujours pas faire malgré le temps que vous y avez passé, contactez-moi !