Chapitre 1 : Prérequis en analyse

Ci-dessous, le chapitre n°1 du module « Réussir sa deuxième année en prépa ». Ce cours est destiné à l’ensemble des élèves de maths Spé, quelque soit leur filière, mais, particulièrement à ceux ayant choisi la filière PT.

  • Sommaire :

# Définitions
Espace vectoriel
Norme
Distance
Parties ouverte et fermée
Partie bornée
Voisinage
# Suite à valeurs dans ℝn
# Dérivation de fonctions à valeurs dans ℝn
# Dérivées d’ordre supérieur
# Sommes de Riemann
# Formule de Leibniz
# Fonctions de classe Ck par morceaux
# Notation de Landau.

  • Cours PDF :

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COURS

  • Définitions :
 - Espace vectoriel :
𝑛≥1, on note 𝐸 l’espace vectoriel (ℝ^𝑛 ; + ; .).
Un espace vectoriel est une structure stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire qu’elle est stable par addition de vecteurs ou par multiplication d’un vecteur par un scalaire. Un élément 𝑥 de 𝐸 se note 𝑥= 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛 et s’appelle un 𝑛-uplet. On a : ℝ^1=ℝ.
 - Norme :
On appelle norme sur 𝐸 une application ||.||:𝐸 → ℝ qui vérifie les trois propriétés :
i.||.||=0 → 𝑥 = 0𝐸 (séparation)
ii.∀𝑥∈𝐸, ∀µ∈𝑅, ||µ𝑥||= |µ| ||𝑥|| (positive homogénéité)
iii.∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸^2, ||𝑥+𝑦|| ≤ ||𝑥||+||𝑦|| (inégalité triangulaire)
iv.Propriété (seconde inégalité triangulaire) :
∀(𝑥,𝑦)∈𝐸^2, ||𝑥||−||𝑦|| ≤ ||𝑥−𝑦||
Preuve : soient 𝑥∈𝐸 et 𝑦∈𝐸 : ||𝑥||=||𝑥−𝑦+𝑦||≤||𝑥−𝑦||+||𝑦|| (inégalité triangulaire) ||𝑦||=||𝑦−𝑥+𝑥||≤||𝑦−𝑥||+||𝑥|| (inégalité triangulaire) soit ||𝑦||−||𝑥||≤||𝑦−𝑥||=||𝑥−𝑦||.
- Distance :
On appelle distance une application 𝑑 : 𝐸 ×𝐸→ℝ+ telle que :
i.∀(𝑥,𝑦)∈𝐸^2, 𝑑(𝑥,𝑦)=𝑑(𝑦,𝑥) (symétrie)
ii.∀(𝑥,𝑦)∈𝐸^2, 𝑑(𝑥,𝑦)=0 équivaut à 𝑥=𝑦 (équation)
iii.∀𝑥,𝑦,𝑧∈𝐸^3, 𝑑(𝑥,𝑧)≤𝑑(𝑥,𝑦)+𝑑(𝑦,𝑧) (inégalité triangulaire).
 - Boule ouverte :
Soit 𝑥∈𝐸 et 𝑟∈ℝ. On appelle boule ouverte de centre 𝑥0 et de rayon 𝑟, 𝐵(𝑥0,𝑟)={𝑥∈𝐸, ||𝑥−𝑥0||<𝑟}.
 - Boule fermée :
Soit 𝑥∈𝐸 et 𝑟∈ℝ. On appelle boule fermée de centre 𝑥0 et de rayon 𝑟, 𝐵(𝑥0,𝑟)={𝑥∈𝐸, ||𝑥−𝑥0||≤𝑟}.
 - Partie bornée :
Une partie bornée de 𝐸 est une partie de 𝐸 incluse dans une boule ouverte ou fermée.
En effet, une partie d’un espace métrique est dite bornée si la distance entre ces points est majorée par un réel fixé, autrement si son ensemble est fini.
A est bornée équivaut à ∃𝑀>0, ∀𝑥∈𝐴, ||𝑥||≤𝑀.
 - Voisinage :
On appelle voisinage de 𝑥∈𝐸 dans 𝐸 une partie 𝑉 de 𝐸 contenant une boule ouverte centrée 𝑥 de rayon >0. Autrement dit, un voisinage d’un point est un sous-ensemble qui contient un ouvert contenant ce point.
i.e. : ∃𝑟>0, 𝐵(𝑥,𝑟)⊂ 𝑉. On dit que 𝑥 est intérieur à 𝑉.
- Partie ouverte :
Une partie ouverte de 𝐸 (ou dans 𝐸) est une partie de 𝐸 au voisinage de chacun de ses points. Autrement dit : 𝐴⊂𝐸 est ouverte dans 𝐸 équivaut à ∀𝑥∈𝐴, ∃ 𝑟>0, 𝐵(𝑥,𝑟)⊂𝐴.
Remarques :
∅ et 𝐸 sont des ouverts de 𝐸. Une boule ouverte est un ouvert de 𝐸.
 - Partie fermée :
Une partie fermée de 𝐸 est une partie de 𝐸 dont le complémentaire est un ouvert de 𝐸.
Exemple : ∅ et 𝐸 sont des fermés de 𝐸 (à la fois ouverts et fermés). Une boucle fermée est un fermé de 𝐸.
Remarque : il existe des parties de 𝐸 ni ouverte ni fermée.
  • Suites à valeurs dans 𝑅^𝑛 :
Définition :
Une suite (vectorielle) est une fonction 𝑢 ∶ 𝑁→𝐸.
Pour 𝑝∈𝑁, 𝑢(𝑝) se note 𝑢𝑝. Leur ensemble se note 𝐹(𝑁,𝐸) ou 𝐸^𝑁.

Propriété :
Soit 𝑢∈𝐸^𝑁. Pour 𝑝∈𝑁, on note 𝑢𝑝=(𝑢(𝑝,1),⋯,𝑢(𝑝,𝑛)). La suite 𝑢 converge vers 𝑙=(𝑙1,⋯,𝑙𝑛) ∀𝑖∈{1,⋯,𝑛}, 𝑢(𝑝,𝑖) converge vers 𝑙𝑖.
Ainsi pour étudier 𝑢, on se ramène à l’étude de 𝑛 suites de réels.

  • Questions :

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