Réduction d’endomorphismes

Aujourd’hui, le but de cette vidéo est de répondre à la question qui m’a été posée par un abonné encore tout récemment.

Comment faut-il comprendre l’expression :

Réduire des endomorphismes ou réduire des matrices.

En algèbre linéaire, réduire une matrice revient à réduire l’endomorphisme associé en dimension finie.

La matrice de l’endomorphisme dépend alors de la base choisie pour le représenter, mais tout changement de base donne une matrice semblable.

Qu’est-ce qu’une matrice semblable ?

Deux matrices A et B sont dites semblables si il existe une matrice de passage P telle que A = PBP^-1.

La propriété principale liant deux matrices semblables est :

Deux matrices sont semblables si ils ont même déterminant.

Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : soit une matrice diagonale, dont tous les éléments non diagonaux sont nuls (on parle alors de diagonalisation) ; soit une matrice triangulaire supérieure, dont tous les éléments diagonaux sous-diagonaux sont nul (on parle alors de trigonalisation).

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée :

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Diagonalisation de matrices 3×3 symétriques

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, le chapitre traité est celui sur la réduction d’endomorphismes.

Nous allons voir ici, sous la forme d’un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 quelconque symétrique.

Nous allons corriger un exercice qui a été posé au concours Banque PT 2008 pour l’épreuve d’algèbre.

Dans cet article, seule la partie II sera traitée. L’énoncé de l’épreuve d’algèbre de l’épreuve du concours Banque PT 2008 est :

Dans l’espace vectoriel R^3, on considère les endomorphismes f et g dont les matrices dans la base canonique sont respectivement :

Les questions se référant à l’exercice sont les suivantes :

Question n°1 : Montrez que les deux matrices Af et Ag sont diagonalisables.

Question n°2 : Vérifier que les deux endomorphismes f et g commutent.

Question n°3 : Déterminer tous les vecteurs propres de f associés à la valeur propre 1. Vérifier que tous ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de g.

Question n°4 : Déterminer le sous-espace propre de f associé à la valeur propre -1.

  • Correction de l’exercice :

Question n°1 corrigée :

Les matrices Af et Ag sont symétriques réelles, on sait alors qu’elles sont diagonalisables.

Question n°2 corrigée :

Les endomorphismes f et g commutent si Af x Ag = Ag x Af ce qui est facilement démontrable en calculant le produit des deux matrices.

Question n°3 corrigée :

On résout ker(Af – Id) = 0 et on arrive au système suivant : {y=x et z=0. Le vecteur (1 ; 1 ; 0) est un vecteur propre de f. Notons E1(f) la droite engendrée par le vecteur (1 ; 1 ; 0). Ce qui peut s’écrire aussi, µ E1(f) = µ(1 ; 1 ; 0) avec µ un nombre réel.

Pour que les valeurs propres de f soient aussi des valeurs propres de g, on calcule g(µ ; µ ; 0) et on regarde si g(µ ; µ ; 0) = µ(1 ; 1 ; 0).

Question n°4 corrigée :

On résout l’équation : f(x ; y ; z) = -1 (x ; y ;z) équivaut à y = -x. Donc le sous-espace propre associé -1 est le plan P d’équation y = -x.

Pour plus d’explications, n’hésitez pas à visionner la vidéo !

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Lien entre endomorphisme et matrice

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons voir qu’il existe un lien entre les endomorphismes et les matrices.

Voici les définitions qui sont rappelées dans la vidéo. Les éléments propres pour les matrices carrées sont :

– Valeurs propres,

– Spectre : ensemble des valeurs propres,

– Vecteurs propres,

– Espaces et de sous-espaces propres : ensemble des vecteurs propres.

Les valeurs propres d’une matrice carrée sont celles de l’endomorphisme associé. Donc le spectre de la matrice est celui de l’endomorphisme qui en découle.

  • Cours/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 7 : Réduction d’endomorphismes composés

Voici une nouvelle vidéo sur la réduction d’endomorphismes. Nous allons ici un cas particulier d’endomorphismes, à savoir deux endomorphismes composés, sous forme d’un exercice.

  • Exercice/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 7 : Méthode de Cramer

Voici une nouvelle vidéo sur le chapitre consacré aux matrices. Vous trouverez ici un récapitulatif de la méthode de Cramer avec un exercice corrigé détaillé. La méthode Cramer est utilisée pour résoudre des systèmes d’équations et est souvent utile dans le cas de systèmes à paramètre.

  • Cours/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 7 : Inverse d’une matrice

Voici une nouvelle vidéo d’algèbre. Le but de cette vidéo est de vous montrer comment inverser une matrice quelconque de manière efficace et rapide, quelle que soit la taille de la matrice. Accès au cours et en cadeau un exercice corrigé à télécharger.

  • Cours/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 7 : Puissance de matrice et endomorphisme nilpotent

Voici une nouvelle vidéo sur les matrices. Nous allons voir ici pas à pas comment multiplier deux matrices ainsi que la notion de matrice ou d’endomorphisme nilpotent(e).

  • Exercice/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 7 : Diagonaliser une matrice 3×3

Voici une nouvelle vidéo sur le chapitre 7 que j’ai intitulé Réduction des endomorphismes et matrices carrées. La vidéo ci-dessous vous explique, à travers un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 (de format 3).

  • Exercice/Vidéo :

  • Questions :

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