Quadriques

L’intérêt de ce cours est d’acquérir des notions sur les quadriques.

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une quadrique ou surface quadratique est une surface de l’espace euclidien de dimension 3, lieu des points vérifiant une équation cartésienne de degré 2 les coefficients A à J étant réels, avec A, B, C, D, E, F non tous nuls.

Géométriquement, les quadriques sont en quelque sorte à l’espace ce que les coniques sont au plan.

Pourquoi alors ne pas cliquer sur l’image ci-dessous pour en savoir plus.

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N’hésitez pas à donner votre avis ou à poser une question. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article. S’il y a toujours des incompréhensions même après avoir visionné la vidéo, si vous ne savez toujours pas faire malgré le temps que vous y avez passé, contactez-moi !

Axe et centre de symétrie

Pour la séance d’aujourd’hui, cap sur les fonctions avec un rappel de cours sur les symétries. Comment déterminer un axe ou bien un centre de symétrie d’une courbe ? La reconnaissance d’un centre ou d’un axe de symétrie pour une courbe définie par y = f(x) en coordonnées cartésiennes n’est pas toujours évidente.

Vous trouverez dans la vidéo qui va suivre définitions et exemples pour vous faire assimiler cette notion.

Pour ce faire, on va considérer f une fonction définie sur son domaine de définition et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal classique. Dans un premier temps, on veut démontrer que la courbe Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie, puis, dans un second temps, on démontrera que Cf admet le point I(a ; b) comme centre de symétrie. Voici le cours en vidéo.

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Suites de récurrence

La vidéo d’aujourd’hui traite des suites de récurrence. Une suite récurrente est définie par la relation de récurrence suivante : u(n+1) = f(u(n)), où f : D → R est continue et u(0) ∈ I un intervalle de R. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques.

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous. N’hésitez pas à la partager.

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Fonctions composées

La vidéo d’aujourd’hui parle d’analyse et d’algèbre et aborde la partie sur les fonctions composées. En mathématiques, la composition de fonctions est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde. On parle alors de fonction composée.

Soit une fonction g dont l’ensemble de définition est A et l’ensemble image B. Et soit une fonction f dont l’ensemble de définition est B et l’ensemble image C. Si x a comme image y par la fonction g et si y a comme image z par la fonction f, on peut imaginer la fonction qui à x fait correspondre z. Cette fonction s’appelle la composée de g suivie de f. On a y=g(x) et z=f(y) donc z=f(g(x)).

Nous allons voir ensemble dans la vidéo qui va suivre plusieurs cas d’application et vous n’aurez plus d’excuse après…

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Démontrer le théorème de Bézout

Le théorème s’énonce ainsi :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = 1.

Si vous voulez tout savoir sur la démonstration du théorème de Bézout, n’hésitez pas à cliquer sur la vidéo…

Le théorème de Bézout a en fait été énoncé par Bachet de Méziriac. Bézout a généralisé ce théorème aux polynômes.

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Suites arithmétiques et suites géométriques

La vidéo d’aujourd’hui traite des suites arithmétiques et des suites géométriques. Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui sont utilisées dans la modélisation de beaucoup de situations de la vie de tous les jours.

Par exemple, les suites arithmétiques permettent de décrire l’amortissement du matériel informatique acheté par une entreprise.

Les placements financiers avec taux d’intérêts fixes ou composés sont modélisés, eux, avec des suites géométriques.

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Règle de Sarrus pour le calcul de déterminants

Vous trouverez en vidéo une règle de calcul pour calculer rapidement vos déterminants de matrices de taille 3. Cette règle s’appelle la règle de Sarrus. La règle de Sarrus ou schéma de Sarrus est une méthode et un schéma de mémorisation permettant de calculer le déterminant d’une matrice 3×3. Il porte le nom du mathématicien français Pierre Frédéric Sarrus. Elle consiste à écrire les 3 colonnes du déterminant, puis à répéter les deux premières… La suite en vidéo !

La règle de Sarrus n’est valable que pour les déterminants d’ordre 3 !

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Foyer et directrice d’une parabole

Voici une nouvelle vidéo de géométrie portant cette fois-ci sur les paraboles. Le but de cette vidéo est de vous apprendre comment déterminer foyer et directrice à partir d’une équation de parabole.

La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, approximativement en forme de U. Une parabole est la courbe représentative d’une fonction du second degré, mais c’est aussi l’ensemble des points situés à égale distance d’un point fixe -son foyer– et d’une droite -sa directrice.

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Raisonnement par l’absurde

La vidéo d’aujourd’hui parle de logique et aborde la partie sur le raisonnement par l’absurde. Soit une propriété (P) dont on désire montrer qu’elle est fausse. Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que cette propriété est vraie et à aboutir à une contradiction. Le raisonnement par l’absurde est également utilisé dans le raisonnement par contraposition, consistant à prouver l’implication PQ en montrant que non(Q) → non(P).

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Surfaces et volumes

Ce cours a pour objectif de faire revoir les aires et volumes vus les années précédentes et de travailler sur de nouvelles formules (aire et volume d’une sphère).

Le volume d’un cylindre est égal à π multiplié, par le rayon de la base au carré et par la hauteur.

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Formule de Héron

Si on note respectivement a, b et c les longueurs des côtés [BC], [CA] et [AB], l’aire S du triangle (ABC) peut être obtenue grâce à la formule, dite de Héron, dans laquelle p désigne le demi-périmètre (a+b+c)/2 :

S = racine carrée[p(p-a)(p-b)(p-c)].

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Polygones réguliers

On appelle polygone (de poly- : plusieurs et –gone : angle) une figure fermée constituée de segments.


Si n est un entier supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés contient n segments et n sommets, qui sont les extrémités des segments, chaque sommet étant commun à exactement deux côtés parmi les n.


On dit qu’il est croisé si au moins deux côtés se coupent ailleurs qu’aux sommets. Sinon, il est dit non croisé.


Les polygones à 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 côtés s’appellent respectivement des triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, heptagones, octogones, ennéagones, décagones, hendécagones et dodécagones.


On appelle diagonale d’un polygone un segment joignant deux sommets non adjacents. On montre que, si n est le nombre de côtés, le nombre de diagonales est n(n+3)/2. Un polygone non croisé est dit convexe si toutes ses diagonales sont à l’intérieur de la surface délimitée par le polygone. Dans le cas contraire, donc si au moins une diagonale est à l’extérieur du polygone (non croisé), il est dit non convexe, ou encore concave.


On appelle polygone régulier un polygone dont les côtés sont de même longueur mais aussi tel que les sommets sont sur un même cercle (on dit que ces points sont cocycliques). Le cercle est donc circonscrit au polygone.


Les polygones réguliers à 3 et 4 côtés s’appellent respectivement des triangles équilatéraux et des carrés.


Les rayons d’un polygone régulier sont les segments joignant les sommets au centre du cercle circonscrit au polygone.

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La multiplication

La multiplication à l’italienne

C’est celle employée encore de nos jours pour effectuer une multiplication « à la main ». En voici un exemple : 5678 x 4321 = 24 534 638.

La multiplication russe

Principe : faire un tableau de deux colonnes dans lequel on effectue les opérations suivantes :

  • Dans la colonne de gauche, on écrit le nombre a, puis en dessous la partie entière de la moitié du nombre écrit au dessus, et ainsi de suite jusqu’à 1.
  • Dans la colonne de droite, on écrit b en première ligne et, en dessous, le double du nombre précédent, en complétant le tableau.
  • On barre ensuite les deux nombres d’une ligne lorsque celui de gauche est pair.
  • On ajoute enfin tous les nombres non barrés de la colonne de gauche.

Cette somme est a x b.

Exemple : 531 x 24 = 12 744.

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Homothéties et similitudes

Homothéties

Soit O un point et k un réel non nul. Une homothétie h, de centre O et de rapport k, est définie par : M’ = h(M) équivaut à OM’ = k OM.

Cas particuliers :

Pour k = 1, l’homothétie est l’identité, ou encore application identique, telle que, pour tout point M, on a : M’ = M. Pour k = –1, c’est la symétrie de centre O .

Propriétés :
Si les points M et N ont pour images respectives M’ et N’, alors : M’N’ = k MN. Sauf lorsque k = 1 ou k = –1, l’homothétie ne conserve pas les distances (donc n’est pas une isométrie), mais cependant elle conserve les proportions, propriété caractéristique des similitudes, dont l’étude est l’objet de ce chapitre.

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k et les aires par k^2 .


L’homothétie est bijective.

La composée de deux homothéties de rapport k1 et k2 est :
– une translation lorsque k1 x k2 = 1
– une homothétie de rapport k1 x k2 sinon.

L’écriture complexe de l’homothétie de centre O d’affixe z0 et de rapport k est :

z’- z0 = k(z – z0).

L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.

L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre h( A) et de rayon |k|R.

Similitudes

On appelle similitude du plan toute transformation s du plan dans lui-même qui conserve les rapports de distances, c’est-à-dire :

pour tous points A, B, C et D, avec A différent de B et C différent de D , dont les images respectives par s sont A’, B’, C’ et D’, alors :

A’B’/C’D’ = AB/CD.

Une transformation s est une similitude si et seulement s’il existe un unique réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B, d’images respectives A’ et B’ par s, on a : A’B’=k AB.

Le réel k est appelé le rapport de la similitude.

Deux exemples importants :
– Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k (ne pas oublier les valeurs absolues !).
– Une isométrie est une similitude de rapport 1.

Propriétés des similitudes :

La composée de deux similitudes de rapports k1 et k2 est une similitude de rapport k1 x k2 .

Généralisation : La composée de plusieurs similitudes est une similitude.

La réciproque d’une similitude (qui existe puisqu’une similitude est bijective) de rapport k est une similitude de rapport 1/k.

La composée d’une similitude de rapport k et d’une homothétie de rapport 1/k est une isométrie.

Conséquence :

Toute similitude s(k) de rapport k peut être considérée (et de plusieurs façons) comme la composée d’une homothétie h(k) de rapport k et d’une isométrie f, sous la forme s(k) = h(k) o f ou s(k) = f o h(k) .

  • Questions :

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Réduction d’endomorphismes

Aujourd’hui, le but de cette vidéo est de répondre à la question qui m’a été posée par un abonné encore tout récemment.

Comment faut-il comprendre l’expression :

Réduire des endomorphismes ou réduire des matrices.

En algèbre linéaire, réduire une matrice revient à réduire l’endomorphisme associé en dimension finie.

La matrice de l’endomorphisme dépend alors de la base choisie pour le représenter, mais tout changement de base donne une matrice semblable.

Qu’est-ce qu’une matrice semblable ?

Deux matrices A et B sont dites semblables si il existe une matrice de passage P telle que A = PBP^-1.

La propriété principale liant deux matrices semblables est :

Deux matrices sont semblables si ils ont même déterminant.

Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : soit une matrice diagonale, dont tous les éléments non diagonaux sont nuls (on parle alors de diagonalisation) ; soit une matrice triangulaire supérieure, dont tous les éléments diagonaux sous-diagonaux sont nul (on parle alors de trigonalisation).

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée :

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Problème d’optimisation sur un cylindre

Bonjour, aujourd’hui nous allons traiter ensemble un problème d’optimisation tombé au concours Banque PT en 2003.

Problème d’optimisation

Voici l’énoncé du problème :

Un fabricant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume V donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Voici en quelques lignes de éléments de réponse pour aller au bout de l’exercice :

Notons h la hauteur de cette boîte et D son diamètre. Le volume V est imposé donc h et D vérifient la contrainte :

V = h x Pi x D²/4

La surface S d’une boîte cylindrique vaut :

Surface = aire latérale + 2 x aire du disque

S = Pi x D x h + 2 x Pi x D²/4

Remarque : on suppose l’épaisseur du cylindre constante ; ce qui implique qu’optimiser la quantité de métal, c’est optimiser l’aire totale.

Ainsi, en respectant la contrainte, on peut calculer S en fonction de D seul :

S = Pi/2 x D² + Pi x D x 4 x V / Pi x D² = Pi / 2 x D² + 4V/D

Notons phi(D) = Pi/2 x D² + 4V/D. Phi est dérivable sur ]0 ; +infini[ avec :

phi'(D) = Pi x D – 4V/D² = (Pi x D^3 – 4V) / D²

Donc phi passe par un minimum pour D = (4V/Pi)^(1/3), ce qui donne :

h = 4V/Pi x 1/D² = (4V/Pi)^(1-2/3) = (4V/Pi)^(1/3) = D.

Conclusion de l’exercice :

La boîte optimale est telle que son diamètre égale sa hauteur.

Voici la correction de l’exercice en vidéo :

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Diagonalisation de matrices 3×3 symétriques

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, le chapitre traité est celui sur la réduction d’endomorphismes.

Nous allons voir ici, sous la forme d’un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 quelconque symétrique.

Nous allons corriger un exercice qui a été posé au concours Banque PT 2008 pour l’épreuve d’algèbre.

Dans cet article, seule la partie II sera traitée. L’énoncé de l’épreuve d’algèbre de l’épreuve du concours Banque PT 2008 est :

Dans l’espace vectoriel R^3, on considère les endomorphismes f et g dont les matrices dans la base canonique sont respectivement :

Les questions se référant à l’exercice sont les suivantes :

Question n°1 : Montrez que les deux matrices Af et Ag sont diagonalisables.

Question n°2 : Vérifier que les deux endomorphismes f et g commutent.

Question n°3 : Déterminer tous les vecteurs propres de f associés à la valeur propre 1. Vérifier que tous ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de g.

Question n°4 : Déterminer le sous-espace propre de f associé à la valeur propre -1.

  • Correction de l’exercice :

Question n°1 corrigée :

Les matrices Af et Ag sont symétriques réelles, on sait alors qu’elles sont diagonalisables.

Question n°2 corrigée :

Les endomorphismes f et g commutent si Af x Ag = Ag x Af ce qui est facilement démontrable en calculant le produit des deux matrices.

Question n°3 corrigée :

On résout ker(Af – Id) = 0 et on arrive au système suivant : {y=x et z=0. Le vecteur (1 ; 1 ; 0) est un vecteur propre de f. Notons E1(f) la droite engendrée par le vecteur (1 ; 1 ; 0). Ce qui peut s’écrire aussi, µ E1(f) = µ(1 ; 1 ; 0) avec µ un nombre réel.

Pour que les valeurs propres de f soient aussi des valeurs propres de g, on calcule g(µ ; µ ; 0) et on regarde si g(µ ; µ ; 0) = µ(1 ; 1 ; 0).

Question n°4 corrigée :

On résout l’équation : f(x ; y ; z) = -1 (x ; y ;z) équivaut à y = -x. Donc le sous-espace propre associé -1 est le plan P d’équation y = -x.

Pour plus d’explications, n’hésitez pas à visionner la vidéo !

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5 erreurs à ne pas commettre en mathématiques !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vais vous donner 5 erreurs à éviter absolument pour réussir en mathématiques. Vous trouverez également de bons conseils pour ne pas tomber dans certains pièges…

Quelles sont les erreurs à ne pas commettre ?

– Erreur n°1 : Croire que tous les problèmes de maths se résolvent grâce à l’intelligence. Pour bien raisonner, votre cerveau a besoin de bases solides, de nombreuses connaissances et d’outils variés. N’hésitez pas alors à demander quelques conseils pour progresser en calcul.

– Erreur n°2 : Travailler sur des exercices non corrigés. C’est une erreur que font beaucoup d’élèves. Pour avancer en maths, vous devez savoir que vous devez connaître vos points faibles, identifier vos lacunes et par conséquent recherchez des méthodes pour résoudre vos difficultés.

– Erreur n°3 : Travailler dès le départ sur des exercices difficiles. C’est la meilleure façon d’avoir un blocage face aux maths, de vous décourager, et pire, de procrastiner devant votre feuille blanche. Commencer petit et progresser lentement mais sûrement une fois que vous avez acquis une notion.

– Erreur n°4 : Abandonner dès le premier blocage. Les mathématiques demande de la concentration, de la patience et surtout beaucoup d’entraînement. A chaque exercice, demandez-vous ce que l’on attend de vous, essayez de comprendre les théorèmes et les définitions et vous avez vraiment du mal, demandez de l’aide à vos professeurs ou à un camarade.

– Erreur n°5 : Se focaliser sur les notes. C’est une grosse erreur de faire des maths simplement pour avoir de bonnes notes. Apprenez à voir plus loin et améliorez votre capacité à apprendre. Développez vos compétences et intégrez les maths à vos nouveaux acquis.

Pour avoir du contenu plus étoffé, je vous propose de cliquer sur la vidéo qui apparaît ci-dessous…

  • Conseils/Vidéo :

  • Questions, suggestions :

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5 préjugés sur les mathématiques

Bonjour à tous, aujourd’hui, je vous ai préparé une petite vidéo sur les préjugés vis-à-vis des mathématiques. Certains sont plus insensés que d’autres ; je vous laisse vous faire votre propre avis sur chacun…

Les mathématiques souffrent de nombreux préjugés et parmi ces clichés, je voulais rétablir la vérité sur certains.

– Préjugé n°1 : « Ne pas avoir la bosse des maths ». C’est une expression que vous avez peut-être déjà entendue. C’est bien entendu FAUX. Il existe des élèves avec des facilités et pour les autres, il ne faut pas s’inquiéter, rien de définitif n’est à prendre en considération. Personne ne mérite ou n’est condamné à erreur dans un couloir tout seul sans jamais ne rien comprendre.

– Préjugé n°2 : Les mathématiques ne servent à rien dans la vie. Ça, c’est aussi faux. Sinon, comment feriez-vous pour calculer le pourcentage d’un article en soldes par exemple ? Autre exemple, comment feriez-vous, sans les mathématiques, pour créer des algorithmes afin de trouver les vols les moins chers reliant Paris à Rio au mois de novembre 2018. Comme vous le voyez, les mathématiques s’appliquent dans de très nombreux domaines.

– Préjugé n°3 : Les matheux ne sont pas des gens amusants. On peut tout à fait adopter des méthodes ludiques à l’apprentissage des maths, comme le montre certains outils, récents certes, comme les applications. Les matheux sont aussi de grands rêveurs…

– Préjugé n°4 : L’art et les maths n’ont rien à faire ensemble. Regardez du côté de la géométrie, partie centrale d’immenses œuvres de Pablo Picasso par exemple.

– Préjugé n°5 : Les filles sont moins fortes en maths que les garçons. Une fois encore, c’est faux. Femmes et hommes ont les mêmes capacités. C’est souvent la société mettant l’homme au centre, qui a malheureusement tendance à dissuader la gente féminine de poursuivre des études à caractère scientifique.

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Lien entre endomorphisme et matrice

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons voir qu’il existe un lien entre les endomorphismes et les matrices.

Voici les définitions qui sont rappelées dans la vidéo. Les éléments propres pour les matrices carrées sont :

– Valeurs propres,

– Spectre : ensemble des valeurs propres,

– Vecteurs propres,

– Espaces et de sous-espaces propres : ensemble des vecteurs propres.

Les valeurs propres d’une matrice carrée sont celles de l’endomorphisme associé. Donc le spectre de la matrice est celui de l’endomorphisme qui en découle.

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Comment lever le blocage en mathématiques pour progresser ?

Aujourd’hui dans cette nouvelle vidéo Conseils, quelques astuces pour vous aider à surmonter cette « peur des maths » pour que vous puissiez aborder sereinement vos années de classes préparatoires…

Comment lever les blocages et sa peur des maths ?

Les cours de mathématiques figurent parmi les plus demandés quand il s’agit de soutien scolaire et de cours particuliers à domicile. Cela s’explique par le blocage dont souffrent de nombreux élèves dans la matière. En effet, ils sont nombreux à se sentir impuissants, désemparés voire même nuls en mathématiques. Même si votre professeur de mathématiques peut vous aider, c’est à vous de surmonter ce blocage et cela implique tout d’abord de le comprendre.

Généralement, ce sentiment est lié à plusieurs facteurs :

– certains élèves se sentent vraiment perdus face aux mathématiques ; tout d’abord, l’incompréhension passe par le langage trop complexe (mathématiquement parlant) utilisé par les enseignants. C’est l’un des premiers éléments à prendre en compte. Les espaces vectoriels, les coniques ou encore les hyperplans sont autant de mots qui peuvent être compliqués à comprendre.

Ensuite, ne pas avoir les bases essentielles en maths explique aussi pourquoi certains apprenants se sentent à ce point désorientés.

Voici quelques méthodes pour surmonter vos appréhensions :

– 1ère méthode : les fiches de révisions qui sont essentielles lorsque l’on prépare un contrôle ou un examen. Les fiches s’avèrent être très utiles et constituent un bon allié pour progresser en mathématiques.

– 2ème méthode : les exercices d’entraînement qui doivent être réguliers et faits pour chaque chapitre étudié sera aussi une des clés de votre réussite. Plus vous varierez le type d’exercices mieux vous serez préparés à tout affronter en termes de difficultés.

– 3ème méthode : la méthode ASSIMIL inventée en 1930 par une maison d’édition portant le même nom.  C’est méthode part sur le principe de réviser chaque jour à raison de 30 minutes par jour, chaque notion étudiée. Cette méthode fait travailler sur la répétition des notions à assimiler et à mémoriser dans le but d’acquérir plus de maîtrise.

Voilà pour les trois méthodes pour un meilleur apprentissage des mathématiques et des idées pour vous faire prendre le chemin de la connaissance et celui de la réussite. Je vous invite à consulter la version audio/vidéo qui se conjugue bien avec le texte.

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13 conseils pour réussir ses oraux de concours

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vais vous donner 13 conseils pour réussir vos oraux de concours. Il se trouve que la période des oraux a déjà démarré pour certains ; voici un petit rappel pour ne pas perdre de vue les priorités.

L’oral : c’est généralement une épreuve très redoutée notamment par les plus timides d’entre nous. Alors, la question que nous nous posons tous est :

Quelle attitude adopter pendant l’épreuve ?

– 1ère astuce : soyez poli.

– 2ème astuce : soignez votre brouillon.

– 3ème astuce : si vous avez le trac, n’ayez pas peur de le dire. Le reconnaître est déjà un bon début pour faire baisser la tension.

– 4ème astuce : souriez de temps en temps.

– 5ème astuce : regardez votre examinateur lorsque vous êtes en train de parler.

– 6ème astuce : ayez une attitude communicative.

– 7ème astuce : mettez de l’enthousiasme dans votre phrasé.

– 8ème astuce : prenez le temps de bien articuler lorsque vous prenez la parole et n’hésitez pas à ralentir le rythme lorsque vous  avez à expliquer quelque chose.

– 9ème astuce : ne jamais s’énerver.

– 10ème astuce : soyez vous-même et dites ce que vous avez à dire.

– 11ème astuce : prenez votre temps pour répondre aux questions.

– 12ème astuce : n’hésitez pas à demander une reformulation si nécessaire.

– 13ème astuce : soyez à l’écoute de votre jury.

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QCM Pilote de ligne 2017 : concours ENAC

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vous ai préparé un petit QCM issu du concours de recrutement d’élèves pilote de ligne pour l’école nationale de l’aviation civile.

  • Vidéo/QCM :

  • Énoncé et corrigé :

Vous pouvez télécharger l’énoncé entier du concours ainsi que son corrigé.

  • Questions :

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La solution pour réussir vos concours !

Bonjour, dans cette vidéo, je vous donne LA solution pour réussir vos concours haut la main !

  • Conseils/Vidéo :

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Formes linéaires : définition et exercice corrigé

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vous ai préparé une petite vidéo sur les formes linéaires, histoire de réviser la notion d’hyperplan et de dualité, qui sont, des notions incontournables à maîtriser en deuxième année.

  • Cours/Exercice/Vidéo :

  • Questions :

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L’importance de l’intelligence émotionnelle dans votre réussite personnelle !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons parler d’intelligence émotionnelle, un élément clé à prendre en considération dans la réussite de votre vie, tant sur le plan de vos études et de votre carrière professionnelle que sur un plan plus personnel, la sphère privée.

Pendant les études, on insiste beaucoup sur le développement intellectuel, le développement physique, ainsi que sur le développement artistique, mais peu sur le développement socio-émotionnel. Or, des études le prouvent : près de 55 % d’entre nous n’arrivent pas à exprimer ses émotions ; pourtant cela ferait le plus grand bien à tous, ne serait-ce que pour diminuer le risque de stress ou de troubles psychologiques. Il est donc important de développer certaines compétences émotionnelles qui sont regroupées dans la catégorie Intelligence émotionnelle.

Le fonctionnement de l’intelligence fait encore des débats. Le raisonnement logique a encore été le seul pris en compte. Aujourd’hui, on admet que l’intelligence émotionnelle joue encore un rôle majeur pour l’individu dans sa relation aux autres. Dans les années 1990, le concept d’intelligence émotionnelle fait son apparition. Auparavant, l’intelligence émotionnelle était caractérisée par les seules capacités de raisonnement logique mesuré par ce que l’on appelle le quotient intellectuel, le fameux QI. Ainsi, ceux qui avaient un gros Q.I. étaient sauvés. La société leur garantissait une réussite professionnelle et sociale. Mais il faut bien se rendre à l’évidence ; les choses ne peuvent pas fonctionner de façon aussi simpliste.

Depuis, les mentalités ont évolué. On admet aujourd’hui que les deux formes d’intelligence qui caractérisent l’être humain sont ses capacités au raisonnement logique d’une part, et son intelligence émotionnelle d’autre part.

L’intelligence logique appelée également intelligence rationnelle correspond à la capacité de mener un raisonnement logique. Elle n’évolue que très peu au cours du temps. On utilise généralement les tests psychotechniques  pour évaluer l’intelligence rationnelle chez l’individu. C’est un procédé très réducteur pour juger des capacités réelles d’un être humain.

L’intelligence émotionnelle appelée aussi intelligence relationnelle ou encore intelligence sociale, met en lumière plusieurs aptitudes. Contrairement au QI, le quotient émotionnel ou Q.E., évolue dans le temps, largement influencé par les expériences de la vie. Bonne nouvelle, on peut apprendre à être intelligent.

L’intelligence émotionnelle se décline en trois sous-catégories :

L’intelligence intime : c’est la compréhension de ses propres émotions.

L’intelligence sociale : c’est la compréhension des émotions de l’autre. C’est ce qui nous rattache à l’autre.

L’intelligence existentielle : il s’agit du rapport à la vie, notre capacité à la rendre plus agréable et harmonieuse. Une réponse adaptée à chaque situation est élaborée par notre propre intelligence émotionnelle.

Donc, mieux un individu gèrera son intelligence émotionnelle, meilleure et plus rapide sera sa réussite professionnelle et sociale.

Je vous invite à découvrir la vidéo sur le sujet en cliquant sur l’image ci-dessous.

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Du retard dans tes révisions ? Que faire ? 8 clés pour s’en sortir !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle, je vais vous donner des conseils et astuces si vous êtes en retard dans vos révisions, et que vous souhaitez quand même bien réussir vos examens.

Travailler à la dernière minute n’est pas recommandé mais parfois on n’a pas le choix.

Prendre du retard pendant ses révisions peut arriver à tout le monde ; mais cela ne vient pas forcément des mêmes raisons.

Certaines sont exceptionnelles voire imprévisibles : une maladie par exemple. Vous ne pouvez donc rien y faire ; il faut simplement essayer de reprendre le dessus après. Et dans ce cas, il faudra prendre du temps pour rattraper tout le retard accumulé le plus vite et le plus tôt.

Mais la plupart des retards pris sur le travail sont dus à un manque d’organisation et de motivation auxquels il faut absolument remédier. Voici quelques clés qui vous aideront à mieux vous organiser :

– Clé n°1 : Ne pas se mettre la pression pour ne jamais être en retard.

– Clé n°2 : Veillez toujours à ce que votre retard ne soit pas trop important.

– Clé n°3 : Pour mieux vous organiser, vous pouvez faire un planning pour classer par ordre d’importance tout le travail à faire. Certains devoirs/travaux sont plus urgents ; les mettre donc en priorité sur votre planning.

– Clé n°4 : Fixez-vous des objectifs à atteindre en respectant des délais afin de travailler de façon efficace. Par exemple, ficher un cours en trois heures est un peu long. L’idée est de le faire en une heure seulement.

– Clé n°5 : Inclure le travail à faire au quotidien avec celui à rattraper.

– Clé n°6 : Organisez-vous en journée pour travailler en fonction de vos disponibilités : travaillez en moyenne huit à neuf heures de travail par jour (cours + révisions). Ajustez vos heures de révision le week-end.

– Clé n°7 : Augmentez votre charge de travail progressivement pour combler votre retard sans en faire trop.

– Clé n°8 : Limitez les distractions pour être efficace.

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Compétences indispensables pour réussir sa prépa

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, l’idée est de mettre en lumière les compétences à acquérir tout au long de vos deux voire de vos trois années de classes préparatoires.

Quelles sont les compétences attendues en fin de cycle de classes préparatoires pour les différents chapitres étudiés ?

– Compétences à acquérir sur les fonctions :

C1 : Savoir montrer qu’une fonction est continue et dérivable.

C2 : Savoir démontrer la bijectivité d’une fonction et sa fonction réciproque.

C3 : Savoir trouver un équivalent utilisant la méthode appropriée.

C4 : Savoir interpréter graphiquement une limite, un équivalent, une fonction continue, une fonction dérivable, une fonction bijective.

   – Compétences à acquérir sur les suites :

C1 : Savoir montrer qu’une suite converge et déterminer alors sa limite.

C2 : Savoir étudier les suites implicites.

     – Compétences à acquérir sur les séries :

C1 : Savoir montrer qu’une série converge,.

C2 : Savoir calculer la somme d’une série.

     – Compétences à acquérir sur les probabilités :

C1 : Savoir calculer la probabilité de l’union de deux évènements et la probabilité de l’intersection de deux évènements.

C2 : Savoir obtenir une relation de récurrence sur les probabilités.

C3 : Savoir déterminer la loi d’une variable aléatoire discrète.

C4 : savoir montrer qu’une variable aléatoire discrète admet une espérance et une variance.

C5 : Connaître le lien entre fonction de répartition et loi discrète.

C6 : Interpréter l’espérance, la variance ainsi que les sauts de la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète.

C7 : Si on connaît une densité, savoir obtenir la fonction de répartition et réciproquement.

C8 : Montrer que f est la densité d’une variable aléatoire discrète à laquelle on associe une fonction de répartition de f.

      – Compétences à développer sur l’intégration :

C1 : Montrer qu’une intégrale impropre une fois ou impropre deux fois converge.

C2 : Savoir calculer la valeur d’une intégrale sur un segment et d’une intégrale convergente.

C3 : Savoir obtenir une inégalité sur une intégrale.

C4 : Savoir obtenir une relation de récurrence sur les suites d’intégrales.

C5 : Savoir étudier une intégrale où l’une des bornes est une constante.

C6 : Savoir étudier une intégrale où les deux bornes sont des fonctions dépendantes d’une variable.

     – Compétences à développer sur le chapitre des matrices :

C1 : Donner deux règles de calcul, vraies dans les réels, mais fausses dans les matrices.

C2 : Savoir montrer qu’une matrice est inversible et déterminer son inverse.

C3 : savoir calculer A^n.

     – Compétences sur le chapitre d’algèbre linéaire :

C1 : Savoir montrer qu’un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel.

C2 : Trouver une base d’un sous-espace vectoriel.

C3 : Savoir montrer qu’une famille de vecteurs est une base.

C4 : Savoir montrer qu’une application de F dans E est linéaire.

C5 : Déterminer le noyau et l’image d’une application linéaire.

C6 : Savoir montrer qu’une application linéaire de E dans F est injective, surjective ou bijective, en dimension finie.

  • Conseils/Vidéo :

  • Questions, remarques, commentaires :

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Chapitre 1 : Fonctions continues par morceaux (C0, C1)

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 1 que j’ai intitulé « Prérequis en analyse ». La notion abordée ici est : fonctions continues par morceaux.

  • Cours/Vidéo :

Donnons la définition d’une fonction dite Ck par morceaux. Une fonction est de classe Ck par morceaux si il existe une suite finie strictement croissante a0, …, an, telle que a0=a et an=b (subdivision de [a ; b]) et telle que pour tout i appartenant {0, …,  n-1}, la restriction de f à ]ai ; ai+1[ se prolonge en une fonction de classe Ck sur [ai ; ai+1].

Dans la pratique, pour identifier si une fonction est de classe C0 ou C1 par morceaux, on procède de la façon suivante :

1. Fonction de classe C0 par morceaux :

On vérifie que la fonction est continue.

2. Fonction de classe C1 par morceaux :

On vérifie que la fonction n’a pas de tangente verticale et/ou de limite infinie.

Nous allons donc passer aux exemples :

Exemple n°1 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et C1 par morceaux. Elle est également Cinfini par morceaux. Ici, on a affaire à des fonctions affines de classe Cinfini.

Exemple n°2 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et non C1 par morceaux car présente des tangentes verticales.

Exemple n°3 :

La fonction tan n’est ni C0 par morceaux car pas continue, ni C1 par morceaux car présente des branches infinies.

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée à l’article :

  • Questions :

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La récurrence et ses variantes

Démarrons aujourd’hui notre étude de raisonnements mathématiques avec une méthode que certains d’entre vous connaissent sans doute déjà : la démonstration par récurrence. Le fondement de cette méthode sera expliqué ici puis nous vous en présenterons ses différentes variantes. Nous vous indiquerons pour quel type de questions utiliser l’une ou l’autre des variantes de la récurrence. De plus, au travers d’exemples, nous vous exposerons également la façon de rédiger correctement une récurrence.
A cette occasion, nous pointerons du doigt les erreurs fréquentes, à ne pas commettre.

La démonstration par récurrence s’applique dans le cadre suivant :
Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier naturel n. Supposons que l’on vous demande de montrer que :
 – P(n) est vraie pour tous les entiers naturels n.
 – Ou bien que P(n) est vraie pour tous les entiers n supérieurs à un certain entier naturel fixé : n0.

Le principe de la démonstration par récurrence repose sur le cinquième axiome de Péano, que vous nous avons présenté en début de semaine :
Si un ensemble d’entiers naturels contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N tout entier.

Expliquons à présent le principe, lequel se décompose en deux étapes.
On commence tout d’abord par montrer que la propriété P(n) est vraie lorsque n vaut 0.
C’est ce que l’on appelle l’initialisation de la récurrence.
Comme nous le verrons dans les exercices, cette première étape correspond généralement à une simple vérification numérique.
Puis l’on transmet cette propriété de proche en proche d’un entier naturel k à son successeur : l’entier k+1. Autrement dit, on prouve que pour tout entier naturel k, P(k) implique P(k+1). Cette seconde étape s’appelle la propagation ou l’hérédité.
Ainsi, de n=0, la propriété se transmet à n=1, puis de n=1 à n=2. Plus généralement , pour un entier k quelconque, la propriété se propage de l’entier n=k-1 à l’entier n=k, puis de n=k à n=k+1, et ce procédé continue indéfiniment. Tous les entiers seront ainsi atteints.

Évoquons ici une légère variante.
Soit n0 un entier naturel fixé. Si l’on vous demande de démontrer que la propriété P(n) est vraie pour tout entier n supérieur à n0, l’initialisation se fait en montrant que P(n0) est vraie.
L’hérédité consistera alors à prouver l’implication P(k) implique P(k+1) pour tout entier k supérieur ou égal à n0.
Passons à un exemple pour voir la méthode en action et apprendre à rédiger correctement la récurrence.
Montrons que pour tout entier naturel n et tout réel x positif, (1+x) puissance n est supérieur ou égal à 1+nx.
Le premier travail consiste à identifier puis à poser la propriété P(n).
Il s’agit ici de « pour tout réel x positif, (1+x) puissance n supérieur à 1+nx. » Noter que l’on ne doit surtout pas inclure le « pour tout n dans N » dans l’expression de P(n) : ce serait une faute majeure de raisonnement, faute que l’on retrouve souvent dans les copies.
Ecrire P(n) signifie que l’on regarde la propriété à un rang n donné.
En revanche, il est indispensable de préciser dans P(n) le domaine de validité des autres variables.
Dans notre exemple, on doit donc inclure dans P(n) : « pour tout x dans R puissance +. » P(n) étant posée, débutons la récurrence proprement dite.
– Première étape : on initialise en vérifiant que la propriété est vraie pour n=0. Pour tout réel x de R puissance +, on calcule (1+x) puissance 0 qui vaut 1 et est donc bien supérieur ou égal à 1+0.x. La propriété P(0) est donc vérifiée.
 – Passons à la seconde étape : l’hérédité.
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel k quelconque. Montrons, par implication, que la propriété est alors vraie au rang k+1. Pour tout réel x positif, on écrit (1+x) puissance (k+1) sous la forme (1+x) puissance k fois (1+x).
Or, par hypothèse de récurrence P(k), on sait que (1+x) puissance k est supérieur à 1+kx. En multipliant membre à membre cette inégalité par 1+x qui est positif, on trouve (1+x) puissance (k+1) supérieur à (1+kx).(1+x) autrement dit (1+x) puissance (k+1) supérieur à 1+(k+1).x+k.x puissance 2.
Or, comme kx puissance 2 est positif, cette dernière quantité est supérieure à 1+(k+1)x Ceci prouve la propriété pour l’entier k+1.
 – Par le principe de récurrence, on peut conclure que pour tout n entier naturel et tout x réel positif, (1+x) puissance n est supérieur ou égal à 1+nx.

Par opposition à cette récurrence dite simple, il existe d’autres formes de récurrence dites fortes.
Celle-ci sont employées lorsque la seule hypothèse P(k) ne suffit pas à prouver P(k+1).
Commençons par exposer le principe de récurrence double.
On veut démontrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier n0, une propriété P(n) est vraie.
Dans l’étape d’initialisation, on montre que P(n0) mais aussi P(n0+1) sont vérifiées.
Puis, dans l’étape d’hérédité, on montre l’implication suivante
 – si la propriété est vraie pour deux entiers consécutifs k et k+1, avec k supérieur à n0, alors elle est vraie pour l’entier suivant : k+2.
 – Par principe de récurrence double, on conclut alors que la propriété est vérifiée pour tout entier n plus grand que n0.

Enchainons tout de suite avec un exemple.
Soit (un) la suite réelle définie par la donnée de u0=1, u1=2 et par la relation suivante : pour tout entier naturel n, u(n+2)= 5u(n+1)-6un.
 – Il s’agit de montrer que pour tout entier n, un=2 puissance n.
Le premier travail est d’identifier la propriété P(n) à démontrer par récurrence.
Ici, c’est facile : il s’agit de un=2 puissance n .
 – On initialise la propriété pour les entiers n=0 et n=1.
D’après l’énoncé, u0=1 ce qui est bien égal à 2 puissance 0 : donc P(0) est vraie.
Toujours, d’après l’énoncé, u1=2 ce qui est bien égal à 2 puissance 1 : donc P(1) est vraie.
 – Passons à l’hérédité. Supposons la propriété vérifiée pour les entiers k et k+1.
 – Démontrons alors que la propriété est vraie pour l’entier k+2. D’après l’énoncé, u(k+2)= 5u(k+1)-6uk. En utilisant les hypothèses de récurrence P(k) et P(k+1), on transforme ceci en u(k+2)=5.2 puissance {k+1}-6.2 puissance {k} Soit 5.2 puissance {k+1}-3.2.2 puissance k. En factorisant, on obtient 2 puissance {k+1}. [5-3] donc 2 puissance {k+1}.2=2 puissance {k+2}. Ceci prouve que P(k+2) est vérifiée.
 – On conclut qu’en vertu du principe de récurrence double, la propriété P(n) est vraie pour tous les entiers naturels n.

Mais comment repérer que l’on doit faire une récurrence double, et non pas simple ? Ici, c’est relativement facile : voyez dans l’expression de la suite donnée dans l’énoncé, qu’un terme s’exprime en fonction des deux précédents.
Autrement dit, u{n+2} s’écrit en fonction de u{n+1} et de u{n} : c’est ce qui doit vous guider vers une récurrence double.
Le principe de récurrence double peut se généraliser de la façon suivante.
On veut montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à n0, une propriété
P(n) est vraie.
Dans l’étape d’initialisation, on montre que P(n0) est vraie.
Puis, dans l’étape d’hérédité, on montre l’implication suivante :
 – si la propriété est vraie pour tous les entiers compris entre n0 et k, alors elle est vraie pour l’entier : k+1.
 – Par principe de récurrence dite forte, on conclut alors que la propriété est vérifiée pour tout entier n plus grand que n0.

Illustrons cette méthode par un exemple. On considère la suite réelle (un) définie par la donnée de son premier terme u0=1 et par la relation suivante : pour tout entier naturel n, u{n+1} est la somme des termes précédents, c’est-à-dire u0+u1+…+un.
On peut noter cette somme avec la notation Sigma que certains d’entre vous connaissent sans doute déjà.
L’exercice consiste à montrer que pour tout entier naturel n non nul, un= 2 puissance {n-1}.
Comme ici, un terme de la suite est exprimé en fonction de TOUS les termes qui le précèdent, on s’oriente vers une récurrence forte.
Comme précédemment, le premier travail consiste à poser la propriété P(n) à démontrer : il s’agit ici de un=2 puissance {n-1}.
 – Passons ensuite à l’étape d’initialisation.
Comme l’énoncé nous indique que l’on doit prouver la propriété pour tout entier dans N*, l’initialisation se fait pour n=1. Toujours d’après l’énoncé, u1=u0=1 qui est bien égal à 2 puissance 0 autrement dit 2 puissance {1-1}.
Ceci prouve que P(1) est vraie.
 – Passons à l’hérédité.
Soit k un entier non nul.
Supposons la propriété vraie pour tous les entiers compris entre 1 et k.
D’après l’énoncé, u{k+1} est égal à la somme de u0, u1, u2… jusqu’à uk.
On sait d’ores et déjà que u0 vaut 1.
Par hypothèses de récurrence P(1), P(2) jusqu’à P(k), cela donne 1+2 puissance 0+2 puissance 1+….2 puissance {k-1}, autrement dit 1+ la somme des 2 puissance j, pour j variant de 0 à k-1.

D’après la formule donnant la somme des premiers termes d’une suite géométrique, on obtient 1+(1-2 puissance k)/(1-2). u{k+1} vaut donc 1-(1-2 puissance k), c’est-à-dire : 2 puissance k.
On a donc prouvé P(k+1), ce qui achève l’hérédité, et, par là-même, la récurrence.
Nous venons de vous expliquer comment mettre en œuvre une récurrence pour démontrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n de N.
Et si l’on veut prouver une propriété pour tous les entiers n de Z, me direz-vous ? Étudions ce cas de figure sur un exercice.
On considère une fonction f de R puissance +* dans R vérifiant les hypothèses f(1)=0 et pour tout couple de réels x et y strictement positifs, f(x.y)=f(x+y).
On demande de montrer premièrement : que pour tout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, f(x puissance n)=nf(x).
Deuxièmement, on demande de propager la relation de N à Z, c’est-à-dire que montrer pour tout entier n dans Z cette fois et pour tout réel x strictement positif, f(x puissance n)=nf(x).
Vous aurez peut être reconnu ici les propriétés de la fonction logarithme népérien ln…
 – La première question se résout par une récurrence simple, en posant pour P(n) la propriété : « pour tout réel x strictement positif, f(x puissance n)=nf(x).
Je vous laissons rédiger la récurrence.
Passons à la seconde question.
Faisons une disjonction de cas.
 – Si l’entier n est dans N, la première question donne la réponse.
 – Si l’entier n est dans Z privé de N, on pose alors m=-n.
 – L’entier m est donc dans N, ce qui va permettre de se ramener à la première question. Expliquons de quelle manière.
 – Soit x un réel strictement positif.
 – On commence par appliquer la relation donnée par l’énoncé à x et à -x.
 – Comme f(1)=0, cela donne 0=f(1)=f(x .1/x)=f(x)+f(1/x).
 – On en déduit que pour tout réel x>0, f(1/x)=-f(x).
 – Ainsi, pour tout x strictement positif, f(x puissance n)=f(x puissance {-m})=f(1/xpuissance m) =-f(x puissance m), d’après ce que l’on vient de démontrer.
 – Par la question 1, comme m est dans N, -f(x puissance m)=-mf(x)=nf(x) : c’est ce qu’il fallait démontrer.
 – On constate donc que l’on ne fait pas de récurrence sur Z mais que l’on propage la relation de N à Z par le changement de variable m=-n. Cette petite astuce est à retenir.

Ceci achève la séquence consacrée aux méthodes de démonstration par récurrence.
A très bientôt.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Des précisions sur le nouveau programme de maths du lycée [Baccalauréat 2021]

Deux nouvelles spécialités sont à découvrir et à choisir si vous souhaitez poursuivre vos études en mathématiques en classes de première et terminale :

  • Maths complémentaires ;
  • Maths expertes.

Les objectifs du nouveau programme sont :

Le programme insiste beaucoup plus sur la partie algorithmique des mathématiques. À chaque chapitre, un ou plusieurs algorithmes seront présentés ce qui permettra d’aborder les notions de façon plus concrètes.

Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à :
– décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;
– en réaliser quelques-uns à l’aide d’un tableur ou d’un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ;
– interpréter des algorithmes plus complexes.
Aucun langage, aucun logiciel spécifique n’est imposé.

L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (algèbre et analyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines.

De manière générale, le nouveau programme de mathématiques au lycée est bien plus ambitieux que l’ancien programme.

Pour ceux qui souhaitent continuer en prépa, le nouveau programme de mathématiques couvre à présent une certaine partie du programme de première année de classe préparatoire ou de licence. Ainsi la transition Terminale/Prépa ou L1 devrait être moins brutale pour les élèves sérieux et travailleurs.

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Négation, conjonction et disjonction

En mathématiques, pour relier les propriétés entre elles et en créer de nouvelles, avec des sens nouveaux, on trouve ce qu’on appelle des connecteurs.
Nous allons ici les introduire en faisant référence à chaque fois aux opérations ensemblistes que nous avons étudiées.

Considérons E un ensemble non vide et P(x) une propriété de la variable x, élément de E. Comme nous l’avons expliqué précédemment, cette propriété caractérise un sous-ensemble A de E : celui constitué de tous les éléments x de E pour lesquels P(x) est vraie. Cet ensemble A admet un complémentaire dans E : A barre. On considère alors la propriété Q(x) tel que A barre est l’ensemble des x de E pour lequel Q(x) est vraie. La propriété Q(x) s’appelle la négation de P(x) et se note ainsi. Ceci se lit non P(x) ou non P, en omettant la variable. Prenons par exemple pour E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un nombre pair ». L’ensemble A des éléments de E vérifiant la propriété P est l’ensemble des entiers pairs. Le complémentaire de A dans E est donc l’ensemble A barre, des entiers impairs. La négation de la propriété P(x) est donc la propriété : « x est un nombre impair ». Nous avons vu que pour une propriété, la valeur de vérité dépend des valeurs prises par la variable. Comparons les valeurs de vérité de P(x) et de sa négation non P(x). Reprenons notre exemple précédent avec la propriété P(x) « x est pair ». Dans le tableau, on remarque que P(5) est fausse et (non)(P)(5) est vraie tandis que P(4) est vraie et (non) (P)(4) est fausse.
On peut à présent écrire la table de vérité de la négation d’une propriété P. Dans la colonne de gauche, on écrit les valeurs de vérité de P. Dans la colonne de droite, on écrit, dans chaque cas, les valeurs de vérité de sa négation.
On remarque que P est vraie lorsque sa négation est fausse et qu’à l’inverse, P est fausse lorsque sa négation est vraie. Ce tableau de vérité de la négation est calqué sur celui indiquant le lien entre un ensemble et son complémentaire.
Ainsi, si x est dans A, x n’appartient pas à A barre. Et si x n’est pas dans A, x appartient à A barre. Ce que nous vous expliquons là est une construction de la négation à partir de la théorie des ensembles.

Dans la pratique, vous n’aurez pas besoin de repasser à chaque fois par le sous ensemble correspondant pour écrire la négation d’une propriété. Il vous suffira de nier la propriété comme on le fait en français en passant de la forme affirmative à la forme négative. Ainsi, la négation de la propriété « M est une matrice inversible » est « M n’est pas une matrice inversible ». La négation de la propriété «f est une fonction continue sur l’intervalle I » est « f n’est pas une fonction continue sur I», autrement dit f est discontinue sur I.

Mais, attention aux erreurs classiques : la négation de la propriété « f est une fonction croissante sur I » est « f n’est pas une fonction croissante sur I », et surtout pas « f est une fonction décroissante sur I ».

Passons à un deuxième connecteur : la conjonction.

Nous allons définir celui-ci à partir de l’intersection des sous ensembles. Soit E un ensemble non vide. Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x de E. Soit A l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie.
L’intersection de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels les propriétés P(x) et Q(x) sont vraies. Notons R(x) la propriété telle que A inter B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie.
La propriété R(x) est appelée la conjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi, ce qui se lit P(x) et Q(x), souvent abrégé en P et Q, en omettant la variable. Écrivons à présent la table de vérité de la conjonction. La conjonction de P et de Q est vérifiée lorsque les propriétés P et Q le sont. Si l’une ou l’autre est fausse, comme ceci, ou comme cela, ou si les deux sont fausses, alors la conjonction est fausse.
Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon
l’appartenance de l’élément x à A et à B, son appartenance à A inter B. En remarquant que les vrais correspondent à des symboles « appartient » et les faux à des symboles
« n’appartient pas », on voit l’analogie des situations : sur la dernière ligne, les deux précédentes ou encore la première. Passons à un exemple.
Plaçons-nous dans E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un entier pair » et Q(x) la propriété « x est un multiple de 3 ». Cherchons la conjonction de P et de Q en passant par les ensembles associés. Chacune de ces propriétés définit un ensemble Pour P, il s’agit de l’ensemble A des entiers x de N tel qu’il existe un entier n tel que x=2n et pour Q, il s’agit de l’ensemble B des entiers x de N tel qu’il existe un entier m tel que x=3m.
Montrons que l’intersection des ensembles A et de B est égal à l’ensemble, noté C, des entiers multiples de 6. Pour cela, procédons par double inclusion. Supposons d’abord que l’entier x est dans l’ensemble C : x est donc un multiple de 6. Il s’écrit alors sous la forme x=6k, où k est un entier. Cette écriture montre que x est un multiple de 2 et de 3. L’entier x est donc dans A inter B.
Supposons à présent que x est dans A inter B. Il existe donc un entier n tel que x=2n et un entier m tel que x=3m. Ainsi, 2n=3m. Comme 2 divise 2k, 2 divise 3m. Puisque 2 et 3 sont deux entiers premiers entre eux, le lemme de Gauss implique que 2 divise m.
Il existe ainsi un entier p tel m=2p. On en déduit que x=3m=6p. Donc x est un multiple de 6. Ainsi, l’élément x est dans C. On conclut par double inclusion que A inter B est égal à C, l’ensemble des entiers multiples de 6. En revenant aux propriétés, on en déduit que la conjonction de P(x) et de Q(x) est la propriété « x est un multiple de 6 »

Passons à un troisième et dernier connecteur : la disjonction, connecteur lié à l’union ensembliste. Soit E un ensemble non vide.
Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x. On considère à nouveau A : l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B : l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie. L’union de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels P(x) ou Q(x) est vraie. Notons R(x) la propriété telle que A union B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie. La propriété R(x) est appelée la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi ce qui se lit P(x) ou Q(x), souvent abrégé en P ou Q, en omettant la variable x.
Écrivons la table de vérité de la disjonction. Si l’une ou l’autre des propriétés P et Q sont vraies, leur disjonction est vraie. La disjonction est fausse que si P et Q sont toutes les deux fausses. Bien sûr, la disjonction P ou Q est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies : le « ou » n’est donc pas exclusif. Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon l’appartenance d’un élément x à A et à B, son appartenance à A union B.

Comme on l’a déjà constaté dans le cas de la conjonction, on note l’analogie entre
les lignes des tableaux : la dernière, les deux du milieu et la première. Passons à un exemple. Soit E l’ensemble des réels. Soit P(x) la propriété « x^2 est supérieur ou égal à 1 », et Q(x) la propriété « exponentielle (x) est inférieur ou égal à 1 ».

Cherchons la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) en passant par les ensembles associés. A l’ensemble des réels x vérifiant la propriété P est égal à ]-infini, -1]union [1, +infini[. B l’ensemble des réels x vérifiant la propriété Q est quant à lui égal à ]-infini, 0]. L’union de A et de B correspond à l’union des trois intervalles ]-infini, -1] union [1, +infini[ union ]-infini, 0], ce qui donne la réunion des intervalles ]-infini,0] et [1,+infini[ .
La disjonction de P(x) et Q(x) est donc la propriété « x est négatif ou supérieur ou égal à 1». Terminons par une petite devinette. Soit P(x) une propriété de la variable x de E. Soit Q(x) sa négation. Que dire de la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) ? Et que dire de leur conjonction ? Vous avez trouvé ? Passons par les ensembles. Soit A l’ensemble des éléments qui vérifient P. Soit B l’ensemble des éléments qui vérifient Q. Alors, B est le complémentaire de A. Il suit que A union B est égal à E tout entier. Ainsi, la disjonction de P(x) et de Q(x) est toujours vraie : on dit que c’est une tautologie. Toujours par caractérisation du complémentaire, A inter B est égal l’ensemble vide.
La conjonction de P et de Q n’est donc jamais vérifiée : c’est une propriété toujours fausse. Ceci porte le nom de contradiction. Nous verrons dans un prochain cours que tautologies et contradictions jouent un rôle assez important dans les raisonnements mathématiques.


Nous venons de vous présenter les trois principaux connecteurs logiques : la négation, la conjonction et la disjonction que nous avons défini à partir des opérations ensemblistes : la négation correspond au complémentaire, la conjonction à l’intersection et la disjonction à l’union.


Dans la pratique, on pourra écrire ces connecteurs sans revenir systématiquement aux opérations ensemblistes sous-jacentes la négation consistant, comme son nom l’indique, à prendre la négation de la propriété considérée, la conjonction consistant à relier les propriétés par la conjonction de coordination « et » et la disjonction à les relier par la conjonction de coordination « ou ».

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Cardinal d’un ensemble fini

Dans cette dernière séquence consacrée à la théorie des ensembles, nous nous intéresserons tout d’abord au nombre d’éléments qui constituent un ensemble, ce que l’on appelle son cardinal.

Un ensemble est dit fini s’il contient un nombre fini d’éléments. Donnons comme exemple d’ensemble fini l’ensemble des entiers compris entre 1 et 10. Mais si l’on considère l’ensemble des réels compris entre 1 et 10, l’ensemble devient infini.
On appelle cardinal d’un ensemble fini le nombre d’éléments qu’il contient. Ce concept de cardinal a été l’objet des travaux du mathématicien allemand Georg Cantor.
Le cardinal d’un ensemble E est noté Card(E) ou avec la notation dièse #9.

Prenons des exemples.
 – Le cardinal de l’ensemble des jours de la semaine est sept.
 – Le cardinal de l’ensemble {0,2,3,5} est quatre , de même que celui de l’ensemble {2,0,3,5,0,2,2} puisque dans un ensemble, les répétitions des éléments ne sont pas comptabilisées.
 – Le cardinal de l’ensemble vide est par convention égal à 0, puisque l’ensemble vide ne contient aucun élément.
 – Lorsqu’un ensemble A est de cardinal fini n, il peut être utile dans le cadre d’un exercice de numéroter ses éléments sous la forme x_1,x_2,….x_n. Comme il n’y a pas d’ordre dans un ensemble, la numérotation des éléments est indifférente.

Voici un premier résultat assez évident sur les cardinaux :
 – Si A est un sous-ensemble d’un ensemble fini E, alors A est lui aussi un ensemble fini et son cardinal est inférieur à celui de E.
 – D’autre part, dans le même contexte, c’est-à dire si A est un sous-ensemble de l’ensemble E et si le cardinal de A est égal au cardinal de E, alors les ensembles A et E sont égaux.
 – Ainsi, pour montrer que deux ensembles finis sont égaux, plutôt que de procéder par double inclusion comme nous l’avions fait dans les séquences précédentes, on pourra montrer une inclusion entre les deux ensembles, puis l’égalité de leurs cardinaux.

Énonçons une nouvelle propriété :
 – Soit A et B sont deux ensembles finis disjoints (c’est-à-dire dont l’intersection est vide).
Alors, leur union est encore un ensemble fini et le cardinal de cette union est égal à la somme des cardinaux de chacun d’eux.

Retenez la formule :

Cardinal(A union B) = cardinal(A) + cardinal(B).

Démontrons cette propriété.
On se place dans le cas où ni A ni B n’est l’ensemble vide, auquel cas il n’y aurait rien à démontrer.
Notons p le cardinal de A et q le cardinal de B.
On écrit alors A={x1,x2, …xp} et B={y1,y2,…,yq}.
Tout élément de A union B est donc soit un xi appartenant à A, soit un yj appartenant à B.

Ceci prouve que l’ensemble A union B est égal à l’ensemble {x1,x2, …xp,y1,y2,…yq}.
Comme deux ensembles égaux ont le même cardinal, le cardinal de A union B est donc égal au cardinal de l’ensemble [x1,x2, …xp,y1,y2,…yq]. Celui-ci vaut p+q car les éléments x_i et y_j sont distincts entre eux puisque A et B n’ont aucun élément en commun.
On conclut que le cardinal de (A union B) est égal à p plus q, c’est-à-dire au cardinal de A plus le cardinal de B.
En application de la propriété précédente, voici une petite devinette : si A est un sous-ensemble d’un ensemble fini E, quel est le cardinal du complémentaire de A ?
On sait que A union A barre = E et que A inter A barre est l’ensemble vide, ce qui revient à dire que A et A barre sont deux ensembles disjoints.
En utilisant la propriété précédente, on peut donc écrire que le cardinal de E est égal au cardinal de (A union A barre) donc au cardinal(A) + le cardinal (A barre) si bien que le Card(A barre)=card(E)-card(A).

Le résultat précédent se généralise de la façon suivante. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Soit A1, A2…, An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors le cardinal de leur union est égal à la somme des cardinaux de chacun des Ai.
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre n de sous ensembles.
L’initialisation se fait pour n=2 : on sait déjà que le cardinal de A_1 union A_2 est égal au cardinal de A_1 plus le cardinal de A_2.
Démontrons à présent l’hérédité.
Supposons la propriété vérifiée pour n ensembles deux à deux disjoints.
Prenons A1,A2…An, et An+1 (n+1) ensembles deux à deux disjoints.
Par propriété de distributivité, l’intersection de l’union des Ai pour i allant de 1 à n et de A_n+1 est égal à l’union pour i allant de 1 à n des intersections des A_i et de A_n+1.

Puisque i est différent de n+1, chaque intersection de A_i et de A_n+1 est vide, on obtient donc l’ensemble vide.
Ceci prouve que l’union des Ai pour i allant de 1 à n et A_n+1 sont deux ensembles disjoints.
En utilisant le cas n=2, on peut donc écrire que le cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n+1 qui est égal au cardinal de l’union pour i allant de 1 à n union A_n+1 est égal au cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n + le cardinal de A_n+1.
On utilise alors l’hypothèse de récurrence au rang n pour transformer la première quantité et l’on obtient que le cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n+1 est égal à la somme pour i allant de 1 à n des cardinaux des A_i auquel on ajoute le cardinal de An+1. Il n’y a plus qu’à faire rentrer le dernier terme dans la somme pour obtenir la formule à démontrer.
Ceci prouve la propriété au rang n+1 et achève l’hérédité de notre récurrence. Et si les sous-ensembles A et B de E ne sont pas disjoints ? On a alors le résultat suivant : le cardinal de A union B est égal à la somme des cardinaux de A et de B à laquelle on retire le cardinal de A inter B.

Pour compter les éléments de A union B, on ajoute les éléments de A (les croix) et les éléments de B (les ronds) mais , ce faisant, on remarque que les éléments qui sont dans A et dans B, donc dans l’intersection (en jaune), ont été comptés deux fois. Il faut donc les retirer.

Démontrons le résultat annoncé.
On établit tout d’abord une première formule qui est la suivante Card( A privé de B) = card(A)-card(A inter B). On rappelle que A privé de B n’est autre que A inter B barre.
Pour démontrer la formule, commençons par
 – déterminer A privé de B union (A inter B) qui est égal à (A inter B barre ) union (A inter B), ce qui donne : A inter (B barre union B) soit A inter E, ce qui vaut A.
 – Puis on calcule A privé de B inter (A inter B) qui est égal à (A inter B barre ) inter (A inter B), ce qui donne par associativité et commutativité de l’intersection, A inter (B inter B barre), soit A inter l’ensemble vide, ce qui vaut l’ensemble vide.
 – On applique alors à (A privé de B) et à (A inter B) la propriété qui donne le cardinal de l’union de deux ensembles disjoints.
 – Ainsi le cardinal de A qui est égal au cardinal de l’union de ces deux ensembles est égal à Card(A privé de B)+Card(A inter B). Ceci donne la première formule.
Il reste à en déduire la formule annoncée.
On montre comme ci-avant que (A privé de B) inter B est l’ensemble vide et que (A privé de B) union B est égal à A union B.

Les ensembles étant disjoints, on a donc Card(A union B)= card(A privé de B)+Card(B), ce qui grâce à la formule précédente, donne Card(A union B) = Card A – Card(A inter B)+ Card(B). En réordonnant les termes dans le membre de droite, on reconnait l’égalité annoncée.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Voilà pour l’article sur les cardinaux d’ensembles finis, n’hésitez pas à réagir au sujet en commentaire. A très vite.

Notion d’ensembles et de sous-ensembles

Le cours d’aujourd’hui sera consacré à la théorie des ensembles.
Nous allons définir la notion d’ensemble et de sous-ensemble. Ces deux notions sont essentielles à la formalisation du raisonnement mathématique. La définition précise de la notion d’ensemble dépasse très largement le cadre de ce cours.
Nous nous contenterons ici d’une définition dite naïve qui est celle d’usage lorsque l’on débute des études en mathématiques.

Commençons par quelques définitions.
On appelle ensemble une collection d’objets. Ces objets s’appellent les éléments de l’ensemble. Lorsque est un élément de l’ensemble E, on dit que x appartient à E. Lorsque n’est pas un élément de E, on dit que x n’appartient pas à E.
Par définition, deux ensembles A et B sont égaux s’ils contiennent les mêmes éléments.
L’ensemble qui ne contient aucun élément, appelé l’ensemble vide.
De plus, dire qu’un élément x appartient à l’ensemble vide équivaut à dire qu’un tel élément n’existe pas. Par exemple, il n’existe aucun réel x vérifiant l’équation x^2+1=0, ce que l’on exprime, comme vous le savez sûrement, en disant que l’ensemble E des solutions de cette équation est l’ensemble vide.

Voici quelques exemples d’ensembles que vous connaissez déjà : l’ensemble des entiers naturels noté grand N, l’ensemble des entiers relatifs noté grand Z et l’ensemble des nombres réels noté grand R.

Pour définir un ensemble, on peut énumérer les éléments qui le constituent entre accolades, par exemple : l’ensemble E= {0,1,2,3,4,5}.

On peut également donner une propriété qui caractérise notre ensemble : par exemple, E est l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 5.

Voici un second exemple : l’ensemble des nombres entiers naturels pairs se définit en extension par E={0,2,4,6,…} et ainsi de suite ou bien en compréhension en disant que E est l’ensemble des entiers naturels multiples de 2.

Dans le cas d’une définition en extension, l’ordre n’a pas d’importance. Ainsi, les ensembles {0,1,2,3,4, 5} et {5,4,1,2,0,3} sont identiques.

D’autre part, les éléments d’un ensemble ne sont jamais répétés.
L’ensemble des solutions de l’équation x^2-2x+1=0 est l’ensemble constitué du seul élément 1. Ainsi on n’écrira jamais l’ensemble {1,1} .
Un ensemble peut être vide (c’est l’ensemble vide), il peut être fini ou infini comme N.

Une petite devinette : Combien d’éléments contient l’ensemble vide ?
Il n’est pas vide puisqu’il contient l’ensemble vide.
Il contient donc un seul élément qui est l’ensemble vide.

Passons maintenant à la définition de sous-ensembles. Soient A et E deux ensembles.
On dit que A est inclus dans E si tout élément de A est aussi un élément de E.
On dit alors que A est un sous-ensemble de E ou alors une partie de E.
Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des réels.

Remarquons que l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Pourquoi ? On se rappelle que pour montrer qu’un ensemble F est inclus dans A, on montre que tous les éléments de F appartiennent également à A.
Comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, ici, il n’y a rien à vérifier.
La propriété est donc établie ! Cette propriété qui a l’air d’être élémentaire va être fréquemment utilisée dans des raisonnements ultérieurs, voilà pourquoi nous la mentionnons dès cette première séquence.

Prouver l’égalité de deux ensembles est un enjeu essentiel dans la résolution des exercices et problèmes mathématiques.
Ainsi, lorsque l’on vous demande de résoudre une équation, vous ne vous en rendez peut-être pas compte, mais vous démontrez l’ égalité entre deux ensembles.

Nous illustrerons ce point dans un prochain exemple.
Commençons par expliquer la méthode pour prouver l’égalité entre deux ensembles.
L’égalité entre deux ensembles A et B se montre en deux temps : on prouve d’abord que A est inclus dans B en montrant que tout élément de A appartient à B, puis on prouve que B est inclus dans A en montrant que tout élément de B appartient à A.

Exemple :
Montrons que les deux ensembles suivants sont égaux. Soit A l’ensemble des solutions de l’équation du second degré x^2-1=0 et B l’ensemble constitué des réels -1 et 1.
Démontrons cette égalité d’ensemble par double inclusion.
Soit x un élément de A.
Alors x vérifie x^2-1=0 ce qui se réécrit (x-1)(x+1)=0.
Or, dans R, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc x est égal à 1 ou x est égal à -1.
Ainsi, x est bien un élément de B.
Montrons à présent la seconde inclusion Prenons x élément de B.
Soit x est égal à -1 alors son carré est égal à 1 donc x appartient à A . Soit x est égal à 1 et son carré est aussi égal à 1, ainsi x est un élément de A.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Les préjugés sur l’apprentissage en prépa

Le titre de cet article est très inspirant. En effet, lorsque l’on baigne dans le milieu ou que l’on fonde nos espoirs et/ou que l’on se fixe pour ambition d’intégrer une grande école d’ingénieurs, c’est quasi automatique, des idées reçues ressurgissent. Alors comment s’en défaire ? Comment garder notre optimisme d’enfant et se parer à toute éventualité pour aller au bout de notre rêve ?

Avant de démarrer sur les préjugés, intéressons-nous d’abord à ce que l’on qualifie de grande école.

Qu’est-ce qu’une grande école ?

Une grande école est un établissement de formation supérieure qui délivre un diplôme conférant le grade de master, qui sélectionne ses étudiants sur des critères en cohérence avec les enseignements qu’ils recevront et les débouchés professionnels des disciplines enseignées.

Passons maintenant aux idées reçues :

Préjugé n°1 : Les classes prépas ne concernent que les premiers de la classe.

Indépendamment du lycée d’origine, un assez bon niveau et des bases solides sont nécessaires pour réussir en classe préparatoire mais le potentiel est une dimension importante.

Préjugé n°2 : Les classes prépas sont un système performant pour tous.

Les CPGE ne conviennent pas à tous les élèves. Les méthodes pédagogiques répondent aux attentes d’élèves qui ont besoin ou qui apprécient les sollicitations pour avancer.
En revanche, ceux qui en ont la volonté doivent pouvoir intégrer une classe prépa s’ils le souhaitent.

Préjugé n°3 : Les classes préparatoires sont un système fermé.

Le recrutement en CPGE suit une procédure nationale, défi nie et organisée par le ministère de l’Éducation nationale, et basée sur les résultats de première et terminale des candidats. Cette procédure assure une équité parfaite dans la sélection des élèves.

Préjugé n°4 : Le niveau de sélection est tel qu’il dessert les classes sociales les moins favorisées.

On retrouve la même tendance dans les autres branches.

Préjugé n°5 : Les classes préparatoires créent des inégalités.

Les classes prépas ne créent pas d’inégalités, elles héritent de celles générées par le système d’enseignement primaire et secondaire et réussissent même à les atténuer.

Préjugé n°6 : Les classes préparatoires n’accueillent pas les boursiers.

Il y a davantage de boursiers (sur critères sociaux) en classes prépas qu’à Sciences Po Paris.

Préjugé n°7 : Il existe une compétition importante entre les élèves.

Pour un nombre très réduit d’écoles très sélectives et prises, la performance au concours est essentielle mais pour plus de 90% des écoles les concours sont davantage un système d’affectation dans lequel une réussite est quasi certaine.

Préjugé n°8 : Une approche essentiellement théorique.

Les CPGE apportent une base théorique nécessaire à la formation des ingénieurs et managers en cinq ans. L’approche expérimentale tient également une place privilégiée afin de pouvoir justifier les modèles et valider les résultats, tout particulièrement dans les filières PC, PSI, PT.

Préjugé n°9 : Les élèves de CPGE sont des bêtes à concours formatés.

L’intelligence et l’esprit critique sont recherchés dans les épreuves de concours aux grandes écoles. La réflexion est donc cultivée pendant les deux années de CPGE. Pour résoudre un exercice qui sera toujours nouveau (pas de bachotage donc), il faut d’abord le comprendre, imaginer une solution possible, la tester (parfois expérimentalement)
et, toujours, critiquer le modèle utilisé. La recherche du bon modèle, suffisamment simplifié tout en restant adapté à une situation, voire généralisable à d’autres, fait partie des compétences essentielles que doit avoir un futur scientifique.

Préjugé n°10 : Les élèves apprennent sans comprendre.

Leur réussite dépendra de ce qu’ils ont assimilé en termes de réflexion et des méthodes de travail et de synthèse, en complément bien évidemment des connaissances apprises.
Les connaissances sont essentielles mais leur mise en œuvre est le cœur de la créativité et de l’innovation.
Une seule solution pour réussir : avoir compris.

Préjugé n°11 : Des élèves broyés et déprimés par le système.

Les élèves travaillent dur mais ils savent que leur travail portera ses fruits et qu’ils réussiront. Peu de formations ont un tel taux de réussite.
Il faut garder en mémoire qu’obtenir un master n’est pas chose aisée : dans quelque filière que ce soit, il faudra travailler sérieusement.

Les élèves doivent s’organiser dans leur travail pour pouvoir se réserver du temps libre pour leurs activités extra-scolaires. À défaut de réellement progresser, tout sportif, artiste ou musicien peut espérer maintenir son niveau. Il pourra ensuite certainement aller de l’avant une fois dans une grande école.

Préjugé n°12 : Les classes préparatoires n’existent qu’en France.

Différents pays qui ont été associés à la culture française ont un dispositif de CPGE et on voit apparaître des demandes de création de CPGE dans de nouveaux pays (Luxembourg, USA, Irlande…)
Le Maroc s’inspire désormais entièrement de ce modèle pour la formation de ses ingénieurs ; des prépas existent en Tunisie, au Gabon, en Côte d’Ivoire, en Turquie, en Autriche et bientôt une à New-York.
Des enseignants de CPGE sont par ailleurs recrutés par des pays qui importent ce modèle sous une forme plus locale en Chine.
Bien que le système des CPGE soit peu connu à l’étranger, les grandes entreprises internationales connaissent la valeur d’un ingénieur français.

Si vous avez des remarques à faire, n’hésitez surtout pas, ça me fera plaisir. A très vite.