Réduction d’endomorphismes

Aujourd’hui, le but de cette vidéo est de répondre à la question qui m’a été posée par un abonné encore tout récemment.

Comment faut-il comprendre l’expression :

Réduire des endomorphismes ou réduire des matrices.

En algèbre linéaire, réduire une matrice revient à réduire l’endomorphisme associé en dimension finie.

La matrice de l’endomorphisme dépend alors de la base choisie pour le représenter, mais tout changement de base donne une matrice semblable.

Qu’est-ce qu’une matrice semblable ?

Deux matrices A et B sont dites semblables si il existe une matrice de passage P telle que A = PBP^-1.

La propriété principale liant deux matrices semblables est :

Deux matrices sont semblables si ils ont même déterminant.

Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : soit une matrice diagonale, dont tous les éléments non diagonaux sont nuls (on parle alors de diagonalisation) ; soit une matrice triangulaire supérieure, dont tous les éléments diagonaux sous-diagonaux sont nul (on parle alors de trigonalisation).

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée :

Problème d’optimisation sur un cylindre

Bonjour, aujourd’hui nous allons traiter ensemble un problème d’optimisation tombé au concours Banque PT en 2003.

Problème d’optimisation

Voici l’énoncé du problème :

Un fabricant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume V donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Voici en quelques lignes de éléments de réponse pour aller au bout de l’exercice :

Notons h la hauteur de cette boîte et D son diamètre. Le volume V est imposé donc h et D vérifient la contrainte :

V = h x Pi x D²/4

La surface S d’une boîte cylindrique vaut :

Surface = aire latérale + 2 x aire du disque

S = Pi x D x h + 2 x Pi x D²/4

Remarque : on suppose l’épaisseur du cylindre constante ; ce qui implique qu’optimiser la quantité de métal, c’est optimiser l’aire totale.

Ainsi, en respectant la contrainte, on peut calculer S en fonction de D seul :

S = Pi/2 x D² + Pi x D x 4 x V / Pi x D² = Pi / 2 x D² + 4V/D

Notons phi(D) = Pi/2 x D² + 4V/D. Phi est dérivable sur ]0 ; +infini[ avec :

phi'(D) = Pi x D – 4V/D² = (Pi x D^3 – 4V) / D²

Donc phi passe par un minimum pour D = (4V/Pi)^(1/3), ce qui donne :

h = 4V/Pi x 1/D² = (4V/Pi)^(1-2/3) = (4V/Pi)^(1/3) = D.

Conclusion de l’exercice :

La boîte optimale est telle que son diamètre égale sa hauteur.

Voici la correction de l’exercice en vidéo :

5 erreurs à ne pas commettre en mathématiques !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vais vous donner 5 erreurs à éviter absolument pour réussir en mathématiques. Vous trouverez également de bons conseils pour ne pas tomber dans certains pièges…

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5 préjugés sur les mathématiques

Bonjour à tous, aujourd’hui, je vous ai préparé une petite vidéo sur les préjugés vis-à-vis des mathématiques. Certains sont plus insensés que d’autres ; je vous laisse vous faire votre propre avis sur chacun…

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Lien entre endomorphisme et matrice

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons voir qu’il existe un lien entre les endomorphismes et les matrices.

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Comment lever le blocage en mathématiques pour progresser ?

Aujourd’hui dans cette nouvelle vidéo Conseils, quelques astuces pour vous aider à surmonter cette « peur des maths » pour que vous puissiez aborder sereinement vos années de classes préparatoires…

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13 conseils pour réussir ses oraux de concours

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vais vous donner 13 conseils pour réussir vos oraux de concours. Il se trouve que la période des oraux a déjà démarré pour certains ; voici un petit rappel pour ne pas perdre de vue les priorités.

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QCM Pilote de ligne 2017 : concours ENAC

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vous ai préparé un petit QCM issu du concours de recrutement d’élèves pilote de ligne pour l’école nationale de l’aviation civile.

  • Vidéo/QCM :

  • Énoncé et corrigé :

Vous pouvez télécharger l’énoncé entier du concours ainsi que son corrigé.

  • Questions :

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La solution pour réussir vos concours !

Bonjour, dans cette vidéo, je vous donne LA solution pour réussir vos concours haut la main !

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Formes linéaires : définition et exercice corrigé

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vous ai préparé une petite vidéo sur les formes linéaires, histoire de réviser la notion d’hyperplan et de dualité, qui sont, des notions incontournables à maîtriser en deuxième année.

  • Cours/Exercice/Vidéo :

  • Questions :

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L’importance de l’intelligence émotionnelle dans votre réussite personnelle !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons parler d’intelligence émotionnelle, un élément clé à prendre en considération dans la réussite de votre vie, tant sur le plan de vos études et de votre carrière professionnelle que sur un plan plus personnel, la sphère privée.

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Tu as pris du retard dans tes révisions ? Que faire ?

Aujourd’hui, dans cette nouvelle, je vais vous donner des conseils et astuces si vous êtes en retard dans vos révisions, et que vous souhaitez quand même bien réussir vos examens. Travailler à la dernière minute n’est pas recommandé mais parfois on n’a pas le choix.

  • Conseils/Vidéo :

  • Questions :

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Compétences indispensables pour réussir sa prépa

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, l’idée est de mettre en lumière les compétences à acquérir tout au long de vos deux voire de vos trois années de classes préparatoires.

  • Conseils/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 1 : Fonctions continues par morceaux (C0, C1)

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 1 que j’ai intitulé « Prérequis en analyse ». La notion abordée ici est : fonctions continues par morceaux.

  • Cours/Vidéo :

Donnons la définition d’une fonction dite Ck par morceaux. Une fonction est de classe Ck par morceaux si il existe une suite finie strictement croissante a0, …, an, telle que a0=a et an=b (subdivision de [a ; b]) et telle que pour tout i appartenant {0, …,  n-1}, la restriction de f à ]ai ; ai+1[ se prolonge en une fonction de classe Ck sur [ai ; ai+1].

Dans la pratique, pour identifier si une fonction est de classe C0 ou C1 par morceaux, on procède de la façon suivante :

1. Fonction de classe C0 par morceaux :

On vérifie que la fonction est continue.

2. Fonction de classe C1 par morceaux :

On vérifie que la fonction n’a pas de tangente verticale et/ou de limite infinie.

Nous allons donc passer aux exemples :

Exemple n°1 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et C1 par morceaux. Elle est également Cinfini par morceaux. Ici, on a affaire à des fonctions affines de classe Cinfini.

Exemple n°2 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et non C1 par morceaux car présente des tangentes verticales.

Exemple n°3 :

La fonction tan n’est ni C0 par morceaux car pas continue, ni C1 par morceaux car présente des branches infinies.

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée à l’article :

  • Questions :

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Comment être le premier de sa classe ?

Qui ne s’est jamais plaint que le professeur était trop ennuyeux ou que le cours était trop plat ?

Comment être le premier de sa classe ?

Si j’ai un premier conseil à vous donner pour réussir vos études, quel que soit votre niveau, ne vous demander pas comment votre professeur peut se rendre intéressant mais plutôt comment vous, vous pouvez vous rendre intéressant pour votre professeur.

Voici le top 10 des attitudes gagnantes en classe :

  • Soyez ponctuel ;
  • Choisissez la place qui vous permettra d’avoir une attention optimale en classe ;
  • Dès votre arrivée, sortez vos affaires et montrez-vous prêt à travailler ;
  • Éteignez votre téléphone, votre tablette, ou toute autre source de distraction : restez concentré pour être efficace ;
  • Développez une méthode efficace pour prendre des notes : pour y arriver, il faut savoir écouter autant le professeur que les autres élèves qui ont des questions à poser ;
  • Participez : en répondant aux questions posées par votre professeur mais également en posant vous-même des questions pertinentes. Intervenir en classe est un bon moyen de dynamiser le cours et d’améliorer la compréhension d’un cours.
  • Restez poli et respectueux en particulier lors de discussion de groupe : la classe est un milieu d’apprentissage donc le climat doit être favorable.
  • Réagissez rapidement aux consignes demandées et démontrez de l’intérêt envers les activités et exercices que l’on vous propose en respectant le temps alloué.
  • Impliquez-vous dans chaque tâche.
  • Après chaque cours, faites un résumé de cours pour compléter vos notes. Relisez vos notes avant le cours suivant car un cours, ça se prépare.

Conclusion :

Vous avez tous droits à une éducation de qualité. Démontrer une attitude positive en classe est votre devoir. Même si vous pensez qu’il est déjà trop tard, optez pour le changement, ne vous contentez pas d’assister passivement à vos cours, participez activement.

10 clés de la réussite en classes préparatoires

Voici la liste de 10 conseils pour réussir ses années de classes préparatoires :

  • Être attentif en cours car c’est là que l’essentiel se joue ;
  • Jouer sur la qualité du travail plutôt que sur la quantité ;
  • Poser des questions à son professeur ou à ses camarades ;
  • Ne pas adapter son rythme de travail au rythme des devoirs surveillés ou des interrogations orales, mais être à jour avant chaque cours ;
  • Associer de manière équilibrée les connaissances et les savoir-faire ;
  • Hiérarchiser les connaissances et les savoir-faire enseignés ;
  • Repérer les liens entre les différents domaines de la matière abordés : les méthodes de calculs ou les modes de raisonnement s’assimilent d’autant mieux qu’on les a mis en application dans des contextes variés ;
  • Apprendre de ses erreurs : comprendre une erreur commise doit être un moyen de ne pas la commettre de nouveau et donc de progresser. C’est aussi un moyen de valoriser un échec.
  • Prendre du recul pour prendre du plaisir : l’assimilation de certaines notions peut imposer un travail répétitif qui sera d’autant mieux accepté qu’on aura compris à quoi ce que l’on fait sert.
  • Équilibrer son travail entre les différentes disciplines ; c’est la meilleure assurance contre les aléas des concours.

Voici la vidéo associée à cet article :

Diplômes de l’enseignement secondaire

Découvrez l’intégralité des ressources pour réussir votre brevet ou votre baccalauréat en cliquant sur les liens suivants :

 

Diplôme national du brevet

Baccalauréat général

Baccalauréat technologique.

 

Pour chaque examen à passer, je vous propose toute une base de supports de cours avec leçons, fiches, exercices, devoirs maisons et contrôles corrigés pour progresser à votre RYTHME.

 

(supports en préparation…)