Démontrer le théorème de Bézout

Si vous voulez tout savoir sur le théorème de Bézout, n’hésitez pas à cliquer sur la vidéo…

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Suites arithmétiques et suites géométriques

La vidéo d’aujourd’hui traite des suites arithmétiques et des suites géométriques. Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Raisonnement par l’absurde

La vidéo d’aujourd’hui parle de logique et aborde la partie sur le raisonnement par l’absurde. Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Surfaces et volumes

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons revoir les notions d’aires et de volumes.

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Formule de Héron

Si on note respectivement a, b et c les longueurs des côtés [BC], [CA] et [AB], l’aire S du triangle (ABC) peut être obtenue grâce à la formule, dite de Héron, dans laquelle p désigne le demi-périmètre (a+b+c)/2 :

S = racine carrée[p(p-a)(p-b)(p-c)].

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Polygones réguliers

On appelle polygone (de poly- : plusieurs et –gone : angle) une figure fermée constituée de segments.


Si n est un entier supérieur ou égal à 3, un polygone à n côtés contient n segments et n sommets, qui sont les extrémités des segments, chaque sommet étant commun à exactement deux côtés parmi les n.


On dit qu’il est croisé si au moins deux côtés se coupent ailleurs qu’aux sommets. Sinon, il est dit non croisé.


Les polygones à 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12 côtés s’appellent respectivement des triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, heptagones, octogones, ennéagones, décagones, hendécagones et dodécagones.


On appelle diagonale d’un polygone un segment joignant deux sommets non adjacents. On montre que, si n est le nombre de côtés, le nombre de diagonales est n(n+3)/2. Un polygone non croisé est dit convexe si toutes ses diagonales sont à l’intérieur de la surface délimitée par le polygone. Dans le cas contraire, donc si au moins une diagonale est à l’extérieur du polygone (non croisé), il est dit non convexe, ou encore concave.


On appelle polygone régulier un polygone dont les côtés sont de même longueur mais aussi tel que les sommets sont sur un même cercle (on dit que ces points sont cocycliques). Le cercle est donc circonscrit au polygone.


Les polygones réguliers à 3 et 4 côtés s’appellent respectivement des triangles équilatéraux et des carrés.


Les rayons d’un polygone régulier sont les segments joignant les sommets au centre du cercle circonscrit au polygone.

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La multiplication

La multiplication à l’italienne

C’est celle employée encore de nos jours pour effectuer une multiplication « à la main ». En voici un exemple : 5678 x 4321 = 24 534 638.

La multiplication russe

Principe : faire un tableau de deux colonnes dans lequel on effectue les opérations suivantes :

  • Dans la colonne de gauche, on écrit le nombre a, puis en dessous la partie entière de la moitié du nombre écrit au dessus, et ainsi de suite jusqu’à 1.
  • Dans la colonne de droite, on écrit b en première ligne et, en dessous, le double du nombre précédent, en complétant le tableau.
  • On barre ensuite les deux nombres d’une ligne lorsque celui de gauche est pair.
  • On ajoute enfin tous les nombres non barrés de la colonne de gauche.

Cette somme est a x b.

Exemple : 531 x 24 = 12 744.

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Homothéties et similitudes

Homothéties

Soit O un point et k un réel non nul. Une homothétie h, de centre O et de rapport k, est définie par : M’ = h(M) équivaut à OM’ = k OM.

Cas particuliers :

Pour k = 1, l’homothétie est l’identité, ou encore application identique, telle que, pour tout point M, on a : M’ = M. Pour k = –1, c’est la symétrie de centre O .

Propriétés :
Si les points M et N ont pour images respectives M’ et N’, alors : M’N’ = k MN. Sauf lorsque k = 1 ou k = –1, l’homothétie ne conserve pas les distances (donc n’est pas une isométrie), mais cependant elle conserve les proportions, propriété caractéristique des similitudes, dont l’étude est l’objet de ce chapitre.

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k et les aires par k^2 .


L’homothétie est bijective.

La composée de deux homothéties de rapport k1 et k2 est :
– une translation lorsque k1 x k2 = 1
– une homothétie de rapport k1 x k2 sinon.

L’écriture complexe de l’homothétie de centre O d’affixe z0 et de rapport k est :

z’- z0 = k(z – z0).

L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.

L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre h( A) et de rayon |k|R.

Similitudes

On appelle similitude du plan toute transformation s du plan dans lui-même qui conserve les rapports de distances, c’est-à-dire :

pour tous points A, B, C et D, avec A différent de B et C différent de D , dont les images respectives par s sont A’, B’, C’ et D’, alors :

A’B’/C’D’ = AB/CD.

Une transformation s est une similitude si et seulement s’il existe un unique réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B, d’images respectives A’ et B’ par s, on a : A’B’=k AB.

Le réel k est appelé le rapport de la similitude.

Deux exemples importants :
– Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k (ne pas oublier les valeurs absolues !).
– Une isométrie est une similitude de rapport 1.

Propriétés des similitudes :

La composée de deux similitudes de rapports k1 et k2 est une similitude de rapport k1 x k2 .

Généralisation : La composée de plusieurs similitudes est une similitude.

La réciproque d’une similitude (qui existe puisqu’une similitude est bijective) de rapport k est une similitude de rapport 1/k.

La composée d’une similitude de rapport k et d’une homothétie de rapport 1/k est une isométrie.

Conséquence :

Toute similitude s(k) de rapport k peut être considérée (et de plusieurs façons) comme la composée d’une homothétie h(k) de rapport k et d’une isométrie f, sous la forme s(k) = h(k) o f ou s(k) = f o h(k) .

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Réduction d’endomorphismes

Aujourd’hui, le but de cette vidéo est de répondre à la question qui m’a été posée par un abonné encore tout récemment.

Comment faut-il comprendre l’expression :

Réduire des endomorphismes ou réduire des matrices.

En algèbre linéaire, réduire une matrice revient à réduire l’endomorphisme associé en dimension finie.

La matrice de l’endomorphisme dépend alors de la base choisie pour le représenter, mais tout changement de base donne une matrice semblable.

Qu’est-ce qu’une matrice semblable ?

Deux matrices A et B sont dites semblables si il existe une matrice de passage P telle que A = PBP^-1.

La propriété principale liant deux matrices semblables est :

Deux matrices sont semblables si ils ont même déterminant.

Réduire une matrice consiste à chercher une matrice semblable la plus simple possible : soit une matrice diagonale, dont tous les éléments non diagonaux sont nuls (on parle alors de diagonalisation) ; soit une matrice triangulaire supérieure, dont tous les éléments diagonaux sous-diagonaux sont nul (on parle alors de trigonalisation).

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée :

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Problème d’optimisation sur un cylindre

Bonjour, aujourd’hui nous allons traiter ensemble un problème d’optimisation tombé au concours Banque PT en 2003.

Problème d’optimisation

Voici l’énoncé du problème :

Un fabricant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume V donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Voici en quelques lignes de éléments de réponse pour aller au bout de l’exercice :

Notons h la hauteur de cette boîte et D son diamètre. Le volume V est imposé donc h et D vérifient la contrainte :

V = h x Pi x D²/4

La surface S d’une boîte cylindrique vaut :

Surface = aire latérale + 2 x aire du disque

S = Pi x D x h + 2 x Pi x D²/4

Remarque : on suppose l’épaisseur du cylindre constante ; ce qui implique qu’optimiser la quantité de métal, c’est optimiser l’aire totale.

Ainsi, en respectant la contrainte, on peut calculer S en fonction de D seul :

S = Pi/2 x D² + Pi x D x 4 x V / Pi x D² = Pi / 2 x D² + 4V/D

Notons phi(D) = Pi/2 x D² + 4V/D. Phi est dérivable sur ]0 ; +infini[ avec :

phi'(D) = Pi x D – 4V/D² = (Pi x D^3 – 4V) / D²

Donc phi passe par un minimum pour D = (4V/Pi)^(1/3), ce qui donne :

h = 4V/Pi x 1/D² = (4V/Pi)^(1-2/3) = (4V/Pi)^(1/3) = D.

Conclusion de l’exercice :

La boîte optimale est telle que son diamètre égale sa hauteur.

Voici la correction de l’exercice en vidéo :

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Diagonalisation de matrices 3×3 symétriques

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, le chapitre traité est celui sur la réduction d’endomorphismes.

Nous allons voir ici, sous la forme d’un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 quelconque symétrique.

Nous allons corriger un exercice qui a été posé au concours Banque PT 2008 pour l’épreuve d’algèbre.

Dans cet article, seule la partie II sera traitée. L’énoncé de l’épreuve d’algèbre de l’épreuve du concours Banque PT 2008 est :

Dans l’espace vectoriel R^3, on considère les endomorphismes f et g dont les matrices dans la base canonique sont respectivement :

Les questions se référant à l’exercice sont les suivantes :

Question n°1 : Montrez que les deux matrices Af et Ag sont diagonalisables.

Question n°2 : Vérifier que les deux endomorphismes f et g commutent.

Question n°3 : Déterminer tous les vecteurs propres de f associés à la valeur propre 1. Vérifier que tous ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de g.

Question n°4 : Déterminer le sous-espace propre de f associé à la valeur propre -1.

  • Correction de l’exercice :

Question n°1 corrigée :

Les matrices Af et Ag sont symétriques réelles, on sait alors qu’elles sont diagonalisables.

Question n°2 corrigée :

Les endomorphismes f et g commutent si Af x Ag = Ag x Af ce qui est facilement démontrable en calculant le produit des deux matrices.

Question n°3 corrigée :

On résout ker(Af – Id) = 0 et on arrive au système suivant : {y=x et z=0. Le vecteur (1 ; 1 ; 0) est un vecteur propre de f. Notons E1(f) la droite engendrée par le vecteur (1 ; 1 ; 0). Ce qui peut s’écrire aussi, µ E1(f) = µ(1 ; 1 ; 0) avec µ un nombre réel.

Pour que les valeurs propres de f soient aussi des valeurs propres de g, on calcule g(µ ; µ ; 0) et on regarde si g(µ ; µ ; 0) = µ(1 ; 1 ; 0).

Question n°4 corrigée :

On résout l’équation : f(x ; y ; z) = -1 (x ; y ;z) équivaut à y = -x. Donc le sous-espace propre associé -1 est le plan P d’équation y = -x.

Pour plus d’explications, n’hésitez pas à visionner la vidéo !

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5 erreurs à ne pas commettre en mathématiques !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vais vous donner 5 erreurs à éviter absolument pour réussir en mathématiques. Vous trouverez également de bons conseils pour ne pas tomber dans certains pièges…

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5 préjugés sur les mathématiques

Bonjour à tous, aujourd’hui, je vous ai préparé une petite vidéo sur les préjugés vis-à-vis des mathématiques. Certains sont plus insensés que d’autres ; je vous laisse vous faire votre propre avis sur chacun…

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Lien entre endomorphisme et matrice

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons voir qu’il existe un lien entre les endomorphismes et les matrices.

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Comment lever le blocage en mathématiques pour progresser ?

Aujourd’hui dans cette nouvelle vidéo Conseils, quelques astuces pour vous aider à surmonter cette « peur des maths » pour que vous puissiez aborder sereinement vos années de classes préparatoires…

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13 conseils pour réussir ses oraux de concours

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vais vous donner 13 conseils pour réussir vos oraux de concours. Il se trouve que la période des oraux a déjà démarré pour certains ; voici un petit rappel pour ne pas perdre de vue les priorités.

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QCM Pilote de ligne 2017 : concours ENAC

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vous ai préparé un petit QCM issu du concours de recrutement d’élèves pilote de ligne pour l’école nationale de l’aviation civile.

  • Vidéo/QCM :

  • Énoncé et corrigé :

Vous pouvez télécharger l’énoncé entier du concours ainsi que son corrigé.

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La solution pour réussir vos concours !

Bonjour, dans cette vidéo, je vous donne LA solution pour réussir vos concours haut la main !

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Formes linéaires : définition et exercice corrigé

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, je vous ai préparé une petite vidéo sur les formes linéaires, histoire de réviser la notion d’hyperplan et de dualité, qui sont, des notions incontournables à maîtriser en deuxième année.

  • Cours/Exercice/Vidéo :

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L’importance de l’intelligence émotionnelle dans votre réussite personnelle !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons parler d’intelligence émotionnelle, un élément clé à prendre en considération dans la réussite de votre vie, tant sur le plan de vos études et de votre carrière professionnelle que sur un plan plus personnel, la sphère privée.

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Tu as pris du retard dans tes révisions ? Que faire ?

Aujourd’hui, dans cette nouvelle, je vais vous donner des conseils et astuces si vous êtes en retard dans vos révisions, et que vous souhaitez quand même bien réussir vos examens. Travailler à la dernière minute n’est pas recommandé mais parfois on n’a pas le choix.

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Compétences indispensables pour réussir sa prépa

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, l’idée est de mettre en lumière les compétences à acquérir tout au long de vos deux voire de vos trois années de classes préparatoires.

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Chapitre 1 : Fonctions continues par morceaux (C0, C1)

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 1 que j’ai intitulé « Prérequis en analyse ». La notion abordée ici est : fonctions continues par morceaux.

  • Cours/Vidéo :

Donnons la définition d’une fonction dite Ck par morceaux. Une fonction est de classe Ck par morceaux si il existe une suite finie strictement croissante a0, …, an, telle que a0=a et an=b (subdivision de [a ; b]) et telle que pour tout i appartenant {0, …,  n-1}, la restriction de f à ]ai ; ai+1[ se prolonge en une fonction de classe Ck sur [ai ; ai+1].

Dans la pratique, pour identifier si une fonction est de classe C0 ou C1 par morceaux, on procède de la façon suivante :

1. Fonction de classe C0 par morceaux :

On vérifie que la fonction est continue.

2. Fonction de classe C1 par morceaux :

On vérifie que la fonction n’a pas de tangente verticale et/ou de limite infinie.

Nous allons donc passer aux exemples :

Exemple n°1 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et C1 par morceaux. Elle est également Cinfini par morceaux. Ici, on a affaire à des fonctions affines de classe Cinfini.

Exemple n°2 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et non C1 par morceaux car présente des tangentes verticales.

Exemple n°3 :

La fonction tan n’est ni C0 par morceaux car pas continue, ni C1 par morceaux car présente des branches infinies.

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée à l’article :

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Règle de Sarrus pour le calcul de déterminants

Vous trouverez en vidéo une règle de calcul pour calculer rapidement vos déterminants de matrices de taille 3. Cette règle s’appelle la règle de Sarrus.

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Foyer et directrice d’une parabole

Voici une nouvelle vidéo de géométrie portant cette fois-ci sur les paraboles. Le but de cette vidéo est de vous apprendre comment déterminer foyer et directrice à partir d’une équation de parabole.

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