Cardinal d’un ensemble fini

Dans cette dernière séquence consacrée à la théorie des ensembles, nous nous intéresserons tout d’abord au nombre d’éléments qui constituent un ensemble, ce que l’on appelle son cardinal.

Un ensemble est dit fini s’il contient un nombre fini d’éléments. Donnons comme exemple d’ensemble fini l’ensemble des entiers compris entre 1 et 10. Mais si l’on considère l’ensemble des réels compris entre 1 et 10, l’ensemble devient infini.
On appelle cardinal d’un ensemble fini le nombre d’éléments qu’il contient. Ce concept de cardinal a été l’objet des travaux du mathématicien allemand Georg Cantor.
Le cardinal d’un ensemble E est noté Card(E) ou avec la notation dièse #9.

Prenons des exemples.
 – Le cardinal de l’ensemble des jours de la semaine est sept.
 – Le cardinal de l’ensemble {0,2,3,5} est quatre , de même que celui de l’ensemble {2,0,3,5,0,2,2} puisque dans un ensemble, les répétitions des éléments ne sont pas comptabilisées.
 – Le cardinal de l’ensemble vide est par convention égal à 0, puisque l’ensemble vide ne contient aucun élément.
 – Lorsqu’un ensemble A est de cardinal fini n, il peut être utile dans le cadre d’un exercice de numéroter ses éléments sous la forme x_1,x_2,….x_n. Comme il n’y a pas d’ordre dans un ensemble, la numérotation des éléments est indifférente.

Voici un premier résultat assez évident sur les cardinaux :
 – Si A est un sous-ensemble d’un ensemble fini E, alors A est lui aussi un ensemble fini et son cardinal est inférieur à celui de E.
 – D’autre part, dans le même contexte, c’est-à dire si A est un sous-ensemble de l’ensemble E et si le cardinal de A est égal au cardinal de E, alors les ensembles A et E sont égaux.
 – Ainsi, pour montrer que deux ensembles finis sont égaux, plutôt que de procéder par double inclusion comme nous l’avions fait dans les séquences précédentes, on pourra montrer une inclusion entre les deux ensembles, puis l’égalité de leurs cardinaux.

Énonçons une nouvelle propriété :
 – Soit A et B sont deux ensembles finis disjoints (c’est-à-dire dont l’intersection est vide).
Alors, leur union est encore un ensemble fini et le cardinal de cette union est égal à la somme des cardinaux de chacun d’eux.

Retenez la formule :

Cardinal(A union B) = cardinal(A) + cardinal(B).

Démontrons cette propriété.
On se place dans le cas où ni A ni B n’est l’ensemble vide, auquel cas il n’y aurait rien à démontrer.
Notons p le cardinal de A et q le cardinal de B.
On écrit alors A={x1,x2, …xp} et B={y1,y2,…,yq}.
Tout élément de A union B est donc soit un xi appartenant à A, soit un yj appartenant à B.

Ceci prouve que l’ensemble A union B est égal à l’ensemble {x1,x2, …xp,y1,y2,…yq}.
Comme deux ensembles égaux ont le même cardinal, le cardinal de A union B est donc égal au cardinal de l’ensemble [x1,x2, …xp,y1,y2,…yq]. Celui-ci vaut p+q car les éléments x_i et y_j sont distincts entre eux puisque A et B n’ont aucun élément en commun.
On conclut que le cardinal de (A union B) est égal à p plus q, c’est-à-dire au cardinal de A plus le cardinal de B.
En application de la propriété précédente, voici une petite devinette : si A est un sous-ensemble d’un ensemble fini E, quel est le cardinal du complémentaire de A ?
On sait que A union A barre = E et que A inter A barre est l’ensemble vide, ce qui revient à dire que A et A barre sont deux ensembles disjoints.
En utilisant la propriété précédente, on peut donc écrire que le cardinal de E est égal au cardinal de (A union A barre) donc au cardinal(A) + le cardinal (A barre) si bien que le Card(A barre)=card(E)-card(A).

Le résultat précédent se généralise de la façon suivante. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Soit A1, A2…, An sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors le cardinal de leur union est égal à la somme des cardinaux de chacun des Ai.
La démonstration se fait par récurrence sur le nombre n de sous ensembles.
L’initialisation se fait pour n=2 : on sait déjà que le cardinal de A_1 union A_2 est égal au cardinal de A_1 plus le cardinal de A_2.
Démontrons à présent l’hérédité.
Supposons la propriété vérifiée pour n ensembles deux à deux disjoints.
Prenons A1,A2…An, et An+1 (n+1) ensembles deux à deux disjoints.
Par propriété de distributivité, l’intersection de l’union des Ai pour i allant de 1 à n et de A_n+1 est égal à l’union pour i allant de 1 à n des intersections des A_i et de A_n+1.

Puisque i est différent de n+1, chaque intersection de A_i et de A_n+1 est vide, on obtient donc l’ensemble vide.
Ceci prouve que l’union des Ai pour i allant de 1 à n et A_n+1 sont deux ensembles disjoints.
En utilisant le cas n=2, on peut donc écrire que le cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n+1 qui est égal au cardinal de l’union pour i allant de 1 à n union A_n+1 est égal au cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n + le cardinal de A_n+1.
On utilise alors l’hypothèse de récurrence au rang n pour transformer la première quantité et l’on obtient que le cardinal de l’union des Ai pour i allant de 1 à n+1 est égal à la somme pour i allant de 1 à n des cardinaux des A_i auquel on ajoute le cardinal de An+1. Il n’y a plus qu’à faire rentrer le dernier terme dans la somme pour obtenir la formule à démontrer.
Ceci prouve la propriété au rang n+1 et achève l’hérédité de notre récurrence. Et si les sous-ensembles A et B de E ne sont pas disjoints ? On a alors le résultat suivant : le cardinal de A union B est égal à la somme des cardinaux de A et de B à laquelle on retire le cardinal de A inter B.

Pour compter les éléments de A union B, on ajoute les éléments de A (les croix) et les éléments de B (les ronds) mais , ce faisant, on remarque que les éléments qui sont dans A et dans B, donc dans l’intersection (en jaune), ont été comptés deux fois. Il faut donc les retirer.

Démontrons le résultat annoncé.
On établit tout d’abord une première formule qui est la suivante Card( A privé de B) = card(A)-card(A inter B). On rappelle que A privé de B n’est autre que A inter B barre.
Pour démontrer la formule, commençons par
 – déterminer A privé de B union (A inter B) qui est égal à (A inter B barre ) union (A inter B), ce qui donne : A inter (B barre union B) soit A inter E, ce qui vaut A.
 – Puis on calcule A privé de B inter (A inter B) qui est égal à (A inter B barre ) inter (A inter B), ce qui donne par associativité et commutativité de l’intersection, A inter (B inter B barre), soit A inter l’ensemble vide, ce qui vaut l’ensemble vide.
 – On applique alors à (A privé de B) et à (A inter B) la propriété qui donne le cardinal de l’union de deux ensembles disjoints.
 – Ainsi le cardinal de A qui est égal au cardinal de l’union de ces deux ensembles est égal à Card(A privé de B)+Card(A inter B). Ceci donne la première formule.
Il reste à en déduire la formule annoncée.
On montre comme ci-avant que (A privé de B) inter B est l’ensemble vide et que (A privé de B) union B est égal à A union B.

Les ensembles étant disjoints, on a donc Card(A union B)= card(A privé de B)+Card(B), ce qui grâce à la formule précédente, donne Card(A union B) = Card A – Card(A inter B)+ Card(B). En réordonnant les termes dans le membre de droite, on reconnait l’égalité annoncée.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Voilà pour l’article sur les cardinaux d’ensembles finis, n’hésitez pas à réagir au sujet en commentaire. A très vite.

Notion d’ensembles et de sous-ensembles

Le cours d’aujourd’hui sera consacré à la théorie des ensembles.
Nous allons définir la notion d’ensemble et de sous-ensemble. Ces deux notions sont essentielles à la formalisation du raisonnement mathématique. La définition précise de la notion d’ensemble dépasse très largement le cadre de ce cours.
Nous nous contenterons ici d’une définition dite naïve qui est celle d’usage lorsque l’on débute des études en mathématiques.

Commençons par quelques définitions.
On appelle ensemble une collection d’objets. Ces objets s’appellent les éléments de l’ensemble. Lorsque est un élément de l’ensemble E, on dit que x appartient à E. Lorsque n’est pas un élément de E, on dit que x n’appartient pas à E.
Par définition, deux ensembles A et B sont égaux s’ils contiennent les mêmes éléments.
L’ensemble qui ne contient aucun élément, appelé l’ensemble vide.
De plus, dire qu’un élément x appartient à l’ensemble vide équivaut à dire qu’un tel élément n’existe pas. Par exemple, il n’existe aucun réel x vérifiant l’équation x^2+1=0, ce que l’on exprime, comme vous le savez sûrement, en disant que l’ensemble E des solutions de cette équation est l’ensemble vide.

Voici quelques exemples d’ensembles que vous connaissez déjà : l’ensemble des entiers naturels noté grand N, l’ensemble des entiers relatifs noté grand Z et l’ensemble des nombres réels noté grand R.

Pour définir un ensemble, on peut énumérer les éléments qui le constituent entre accolades, par exemple : l’ensemble E= {0,1,2,3,4,5}.

On peut également donner une propriété qui caractérise notre ensemble : par exemple, E est l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 5.

Voici un second exemple : l’ensemble des nombres entiers naturels pairs se définit en extension par E={0,2,4,6,…} et ainsi de suite ou bien en compréhension en disant que E est l’ensemble des entiers naturels multiples de 2.

Dans le cas d’une définition en extension, l’ordre n’a pas d’importance. Ainsi, les ensembles {0,1,2,3,4, 5} et {5,4,1,2,0,3} sont identiques.

D’autre part, les éléments d’un ensemble ne sont jamais répétés.
L’ensemble des solutions de l’équation x^2-2x+1=0 est l’ensemble constitué du seul élément 1. Ainsi on n’écrira jamais l’ensemble {1,1} .
Un ensemble peut être vide (c’est l’ensemble vide), il peut être fini ou infini comme N.

Une petite devinette : Combien d’éléments contient l’ensemble vide ?
Il n’est pas vide puisqu’il contient l’ensemble vide.
Il contient donc un seul élément qui est l’ensemble vide.

Passons maintenant à la définition de sous-ensembles. Soient A et E deux ensembles.
On dit que A est inclus dans E si tout élément de A est aussi un élément de E.
On dit alors que A est un sous-ensemble de E ou alors une partie de E.
Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des réels.

Remarquons que l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Pourquoi ? On se rappelle que pour montrer qu’un ensemble F est inclus dans A, on montre que tous les éléments de F appartiennent également à A.
Comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, ici, il n’y a rien à vérifier.
La propriété est donc établie ! Cette propriété qui a l’air d’être élémentaire va être fréquemment utilisée dans des raisonnements ultérieurs, voilà pourquoi nous la mentionnons dès cette première séquence.

Prouver l’égalité de deux ensembles est un enjeu essentiel dans la résolution des exercices et problèmes mathématiques.
Ainsi, lorsque l’on vous demande de résoudre une équation, vous ne vous en rendez peut-être pas compte, mais vous démontrez l’ égalité entre deux ensembles.

Nous illustrerons ce point dans un prochain exemple.
Commençons par expliquer la méthode pour prouver l’égalité entre deux ensembles.
L’égalité entre deux ensembles A et B se montre en deux temps : on prouve d’abord que A est inclus dans B en montrant que tout élément de A appartient à B, puis on prouve que B est inclus dans A en montrant que tout élément de B appartient à A.

Exemple :
Montrons que les deux ensembles suivants sont égaux. Soit A l’ensemble des solutions de l’équation du second degré x^2-1=0 et B l’ensemble constitué des réels -1 et 1.
Démontrons cette égalité d’ensemble par double inclusion.
Soit x un élément de A.
Alors x vérifie x^2-1=0 ce qui se réécrit (x-1)(x+1)=0.
Or, dans R, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc x est égal à 1 ou x est égal à -1.
Ainsi, x est bien un élément de B.
Montrons à présent la seconde inclusion Prenons x élément de B.
Soit x est égal à -1 alors son carré est égal à 1 donc x appartient à A . Soit x est égal à 1 et son carré est aussi égal à 1, ainsi x est un élément de A.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Les préjugés sur l’apprentissage en prépa

Le titre de cet article est très inspirant. En effet, lorsque l’on baigne dans le milieu ou que l’on fonde nos espoirs et/ou que l’on se fixe pour ambition d’intégrer une grande école d’ingénieurs, c’est quasi automatique, des idées reçues ressurgissent. Alors comment s’en défaire ? Comment garder notre optimisme d’enfant et se parer à toute éventualité pour aller au bout de notre rêve ?

Avant de démarrer sur les préjugés, intéressons-nous d’abord à ce que l’on qualifie de grande école.

Qu’est-ce qu’une grande école ?

Une grande école est un établissement de formation supérieure qui délivre un diplôme conférant le grade de master, qui sélectionne ses étudiants sur des critères en cohérence avec les enseignements qu’ils recevront et les débouchés professionnels des disciplines enseignées.

Passons maintenant aux idées reçues :

Préjugé n°1 : Les classes prépas ne concernent que les premiers de la classe.

Indépendamment du lycée d’origine, un assez bon niveau et des bases solides sont nécessaires pour réussir en classe préparatoire mais le potentiel est une dimension importante.

Préjugé n°2 : Les classes prépas sont un système performant pour tous.

Les CPGE ne conviennent pas à tous les élèves. Les méthodes pédagogiques répondent aux attentes d’élèves qui ont besoin ou qui apprécient les sollicitations pour avancer.
En revanche, ceux qui en ont la volonté doivent pouvoir intégrer une classe prépa s’ils le souhaitent.

Préjugé n°3 : Les classes préparatoires sont un système fermé.

Le recrutement en CPGE suit une procédure nationale, défi nie et organisée par le ministère de l’Éducation nationale, et basée sur les résultats de première et terminale des candidats. Cette procédure assure une équité parfaite dans la sélection des élèves.

Préjugé n°4 : Le niveau de sélection est tel qu’il dessert les classes sociales les moins favorisées.

On retrouve la même tendance dans les autres branches.

Préjugé n°5 : Les classes préparatoires créent des inégalités.

Les classes prépas ne créent pas d’inégalités, elles héritent de celles générées par le système d’enseignement primaire et secondaire et réussissent même à les atténuer.

Préjugé n°6 : Les classes préparatoires n’accueillent pas les boursiers.

Il y a davantage de boursiers (sur critères sociaux) en classes prépas qu’à Sciences Po Paris.

Préjugé n°7 : Il existe une compétition importante entre les élèves.

Pour un nombre très réduit d’écoles très sélectives et prises, la performance au concours est essentielle mais pour plus de 90% des écoles les concours sont davantage un système d’affectation dans lequel une réussite est quasi certaine.

Préjugé n°8 : Une approche essentiellement théorique.

Les CPGE apportent une base théorique nécessaire à la formation des ingénieurs et managers en cinq ans. L’approche expérimentale tient également une place privilégiée afin de pouvoir justifier les modèles et valider les résultats, tout particulièrement dans les filières PC, PSI, PT.

Préjugé n°9 : Les élèves de CPGE sont des bêtes à concours formatés.

L’intelligence et l’esprit critique sont recherchés dans les épreuves de concours aux grandes écoles. La réflexion est donc cultivée pendant les deux années de CPGE. Pour résoudre un exercice qui sera toujours nouveau (pas de bachotage donc), il faut d’abord le comprendre, imaginer une solution possible, la tester (parfois expérimentalement)
et, toujours, critiquer le modèle utilisé. La recherche du bon modèle, suffisamment simplifié tout en restant adapté à une situation, voire généralisable à d’autres, fait partie des compétences essentielles que doit avoir un futur scientifique.

Préjugé n°10 : Les élèves apprennent sans comprendre.

Leur réussite dépendra de ce qu’ils ont assimilé en termes de réflexion et des méthodes de travail et de synthèse, en complément bien évidemment des connaissances apprises.
Les connaissances sont essentielles mais leur mise en œuvre est le cœur de la créativité et de l’innovation.
Une seule solution pour réussir : avoir compris.

Préjugé n°11 : Des élèves broyés et déprimés par le système.

Les élèves travaillent dur mais ils savent que leur travail portera ses fruits et qu’ils réussiront. Peu de formations ont un tel taux de réussite.
Il faut garder en mémoire qu’obtenir un master n’est pas chose aisée : dans quelque filière que ce soit, il faudra travailler sérieusement.

Les élèves doivent s’organiser dans leur travail pour pouvoir se réserver du temps libre pour leurs activités extra-scolaires. À défaut de réellement progresser, tout sportif, artiste ou musicien peut espérer maintenir son niveau. Il pourra ensuite certainement aller de l’avant une fois dans une grande école.

Préjugé n°12 : Les classes préparatoires n’existent qu’en France.

Différents pays qui ont été associés à la culture française ont un dispositif de CPGE et on voit apparaître des demandes de création de CPGE dans de nouveaux pays (Luxembourg, USA, Irlande…)
Le Maroc s’inspire désormais entièrement de ce modèle pour la formation de ses ingénieurs ; des prépas existent en Tunisie, au Gabon, en Côte d’Ivoire, en Turquie, en Autriche et bientôt une à New-York.
Des enseignants de CPGE sont par ailleurs recrutés par des pays qui importent ce modèle sous une forme plus locale en Chine.
Bien que le système des CPGE soit peu connu à l’étranger, les grandes entreprises internationales connaissent la valeur d’un ingénieur français.

Si vous avez des remarques à faire, n’hésitez surtout pas, ça me fera plaisir. A très vite.

Axe et centre de symétrie

Pour la séance d’aujourd’hui, cap sur les fonctions avec un rappel de cours sur les symétries. Comment déterminer un axe ou bien un centre de symétrie d’une courbe ? La reconnaissance d’un centre ou d’un axe de symétrie pour une courbe définie par y = f(x) en coordonnées cartésiennes n’est pas toujours évidente.

Vous trouverez dans la vidéo qui va suivre définitions et exemples pour vous faire assimiler cette notion.

Pour ce faire, on va considérer f une fonction définie sur son domaine de définition et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormal classique. Dans un premier temps, on veut démontrer que la courbe Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie, puis, dans un second temps, on démontrera que Cf admet le point I(a ; b) comme centre de symétrie. Voici le cours en vidéo.

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  • Questions :

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Suites de récurrence

La vidéo d’aujourd’hui traite des suites de récurrence. Une suite récurrente est définie par la relation de récurrence suivante : u(n+1) = f(u(n)), où f : D → R est continue et u(0) ∈ I un intervalle de R. Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques.

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous. N’hésitez pas à la partager.

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Fonctions composées

La vidéo d’aujourd’hui parle d’analyse et d’algèbre et aborde la partie sur les fonctions composées. En mathématiques, la composition de fonctions est un procédé qui consiste, à partir de deux fonctions, à en construire une nouvelle. Pour cela, on utilise les images de la première fonction comme arguments pour la seconde. On parle alors de fonction composée.

Soit une fonction g dont l’ensemble de définition est A et l’ensemble image B. Et soit une fonction f dont l’ensemble de définition est B et l’ensemble image C. Si x a comme image y par la fonction g et si y a comme image z par la fonction f, on peut imaginer la fonction qui à x fait correspondre z. Cette fonction s’appelle la composée de g suivie de f. On a y=g(x) et z=f(y) donc z=f(g(x)).

Nous allons voir ensemble dans la vidéo qui va suivre plusieurs cas d’application et vous n’aurez plus d’excuse après…

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Démontrer le théorème de Bézout

Le théorème s’énonce ainsi :

Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers u et v tels que a·u + b·v = 1.

Si vous voulez tout savoir sur la démonstration du théorème de Bézout, n’hésitez pas à cliquer sur la vidéo…

Le théorème de Bézout a en fait été énoncé par Bachet de Méziriac. Bézout a généralisé ce théorème aux polynômes.

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Suites arithmétiques et suites géométriques

La vidéo d’aujourd’hui traite des suites arithmétiques et des suites géométriques. Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui sont utilisées dans la modélisation de beaucoup de situations de la vie de tous les jours.

Par exemple, les suites arithmétiques permettent de décrire l’amortissement du matériel informatique acheté par une entreprise.

Les placements financiers avec taux d’intérêts fixes ou composés sont modélisés, eux, avec des suites géométriques.

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Règle de Sarrus pour le calcul de déterminants

Vous trouverez en vidéo une règle de calcul pour calculer rapidement vos déterminants de matrices de taille 3. Cette règle s’appelle la règle de Sarrus. La règle de Sarrus ou schéma de Sarrus est une méthode et un schéma de mémorisation permettant de calculer le déterminant d’une matrice 3×3. Il porte le nom du mathématicien français Pierre Frédéric Sarrus. Elle consiste à écrire les 3 colonnes du déterminant, puis à répéter les deux premières… La suite en vidéo !

La règle de Sarrus n’est valable que pour les déterminants d’ordre 3 !

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Si vous avez des questions ou des commentaires, n’hésitez pas à me les faire parvenir via cet article ou par e-mail de contact.