Chapitre 1 : Développements limités

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 1 que j’ai intitulé « Prérequis en analyse ». La notion abordée ici est : les développements limités.

  • Cours/Vidéo :

  •  Questions :

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Chapitre 1 : Fonctions continues par morceaux (C0, C1)

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 1 que j’ai intitulé « Prérequis en analyse ». La notion abordée ici est : fonctions continues par morceaux.

  • Cours/Vidéo :

Donnons la définition d’une fonction dite Ck par morceaux. Une fonction est de classe Ck par morceaux si il existe une suite finie strictement croissante a0, …, an, telle que a0=a et an=b (subdivision de [a ; b]) et telle que pour tout i appartenant {0, …,  n-1}, la restriction de f à ]ai ; ai+1[ se prolonge en une fonction de classe Ck sur [ai ; ai+1].

Dans la pratique, pour identifier si une fonction est de classe C0 ou C1 par morceaux, on procède de la façon suivante :

1. Fonction de classe C0 par morceaux :

On vérifie que la fonction est continue.

2. Fonction de classe C1 par morceaux :

On vérifie que la fonction n’a pas de tangente verticale et/ou de limite infinie.

Nous allons donc passer aux exemples :

Exemple n°1 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et C1 par morceaux. Elle est également Cinfini par morceaux. Ici, on a affaire à des fonctions affines de classe Cinfini.

Exemple n°2 :

La fonction est de classe C0 par morceaux car continue, et non C1 par morceaux car présente des tangentes verticales.

Exemple n°3 :

La fonction tan n’est ni C0 par morceaux car pas continue, ni C1 par morceaux car présente des branches infinies.

Vous trouverez ci-dessous la vidéo associée à l’article :

  • Questions :

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Chapitre 4 : Séries numériques

Vous trouverez ci-dessous, le chapitre n°4 du module « Réussir sa deuxième année en prépa ». Ce cours est destiné à l’ensemble des élèves de maths spé, quelque soit leur filière, mais particulièrement à ceux ayant choisi la filière PT.

  • Sommaire :

# Objectif du cours
# Convergence d’une série numérique
# Quelques propriétés
# Séries à termes positifs
Théorème de comparaison
Critère d’équivalence
Comparaison série-intégrale
# Séries de Riemann
Comparaison avec des séries géométriques
Règle de d’Alembert
Règle de Cauchy
# Séries à termes quelconques
Séries absolument convergentes
Séries alternées
# Calculs approchés de sommes de séries
Cas de l’absolue convergence
Comparaison série-intégrale

  • Cours PDF :

Pour avoir accès au cours en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-contre : Chapitre 4 _ Séries numériques.

  • Questions :

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Chapitre 1 : Définition d’un espace vectoriel

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 1 que j’ai intitulé « Prérequis en analyse ». La notion abordée ici est : espace vectoriel.

  • Cours/Vidéo :

  • Questions :

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Chapitre 3 : Exercices sur le cours « Intégrales impropres »

Vous trouverez ici neuf exercices d’application permettant de mieux comprendre le cours précédent (chapitre 3) et surtout de mettre en pratique les différentes notions et méthodes de calculs expliquées dans ce cours. Pour avoir accès aux exercices, il suffit de télécharger les fichiers ci-dessous.

  • Exercices/Fichier PDF :

Pour avoir accès au fichier en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-dessous : Chapitre 3 _ Intégrales impropres – exercices

  • Questions :

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Chapitre 3 : Intégrales impropres

Vous trouverez ci-dessous, le chapitre n°3 du module « Réussir sa deuxième année en prépa ». Ce cours est destiné à l’ensemble des élèves de maths spé, quelque soit leur filière, mais particulièrement à ceux ayant choisi la filière PT.

  • Sommaire :

# Objectif du cours
# Définition d’une intégrale impropre
Définition
Cas d’un problème aux deux bornes
Intégrales faussement impropres
# Intégrales de Riemann
# Quelques propriétés
Intégration par parties
Changement de variable
Lien avec la limite
# Théorèmes de convergence
Théorème de comparaison
Critère d’équivalence
# Fonctions intégrables.

  • Cours PDF :

Pour avoir accès au cours entier en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-dessous : Chapitre 3 _ Intégrales impropres.

  • Questions :

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Chapitre 2 : Exercices sur le cours « Intégration sur un segment »

Vous trouverez ici quatre exercices d’application permettant de mieux comprendre le cours précédent et surtout de mettre en pratique les différentes notions et méthodes de calculs expliquées dans ce cours. Pour avoir accès aux exercices, il suffit de télécharger le fichier vidéo ci-dessous.

  • Exercices/Fichier PDF :

Pour avoir accès au fichier en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-dessous : Chapitre 2 _ Intégration sur un segment – exercices

  • Questions :

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Chapitre 2 : Intégration sur un segment

Vous trouverez ci-dessous, le chapitre n°2 du module « Réussir sa deuxième année en prépa ». Ce cours est destiné à l’ensemble des élèves de maths spé, quelque soit leur filière, mais, particulièrement à ceux ayant choisi la filière PT.

  • Sommaire :

# Construction de l’intégrale
# Quelques propriétés
Linéarité de l’intégrale
Relation de Chasles
Positivité et croissance
Théorème des trois conditions
Inégalité de Cauchy-Schwarz
# Les primitives
Théorème fondamental de l’intégration
Intégration par parties
Changement de variable
# Sommes de Riemann
# Calculs approchés d’une intégrale
Méthode des rectangles
Méthode des trapèzes
Méthode de Simpson
# Calculs de primitives
Primitives de fractions rationnelles
Décomposition en éléments simples.

  • Cours PDF :

Pour avoir accès au cours entier en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-dessous : Chapitre 2 _ Intégration sur un segment

  • Complément de cours/Formulaire :

Formulaire des développements en série entière usuels à télécharger sous format PDF : Chapitre 2 _ Formulaire D.S.E. (cliquez ici)

  • Questions :

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Chapitre 1 : Prérequis en analyse

Ci-dessous, le chapitre n°1 du module « Réussir sa deuxième année en prépa ». Ce cours est destiné à l’ensemble des élèves de maths Spé, quelque soit leur filière, mais, particulièrement à ceux ayant choisi la filière PT.

  • Sommaire :

# Définitions
Espace vectoriel
Norme
Distance
Parties ouverte et fermée
Partie bornée
Voisinage
# Suite à valeurs dans ℝn
# Dérivation de fonctions à valeurs dans ℝn
# Dérivées d’ordre supérieur
# Sommes de Riemann
# Formule de Leibniz
# Fonctions de classe Ck par morceaux
# Notation de Landau.

  • Cours PDF :

Pour avoir accès au cours entier en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-dessous : Chapitre 1 _ Prérequis en analyse

COURS

  • Définitions :
 - Espace vectoriel :
𝑛≥1, on note 𝐸 l’espace vectoriel (ℝ^𝑛 ; + ; .).
Un espace vectoriel est une structure stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire qu’elle est stable par addition de vecteurs ou par multiplication d’un vecteur par un scalaire. Un élément 𝑥 de 𝐸 se note 𝑥= 𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛 et s’appelle un 𝑛-uplet. On a : ℝ^1=ℝ.
 - Norme :
On appelle norme sur 𝐸 une application ||.||:𝐸 → ℝ qui vérifie les trois propriétés :
i.||.||=0 → 𝑥 = 0𝐸 (séparation)
ii.∀𝑥∈𝐸, ∀µ∈𝑅, ||µ𝑥||= |µ| ||𝑥|| (positive homogénéité)
iii.∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸^2, ||𝑥+𝑦|| ≤ ||𝑥||+||𝑦|| (inégalité triangulaire)
iv.Propriété (seconde inégalité triangulaire) :
∀(𝑥,𝑦)∈𝐸^2, ||𝑥||−||𝑦|| ≤ ||𝑥−𝑦||
Preuve : soient 𝑥∈𝐸 et 𝑦∈𝐸 : ||𝑥||=||𝑥−𝑦+𝑦||≤||𝑥−𝑦||+||𝑦|| (inégalité triangulaire) ||𝑦||=||𝑦−𝑥+𝑥||≤||𝑦−𝑥||+||𝑥|| (inégalité triangulaire) soit ||𝑦||−||𝑥||≤||𝑦−𝑥||=||𝑥−𝑦||.
- Distance :
On appelle distance une application 𝑑 : 𝐸 ×𝐸→ℝ+ telle que :
i.∀(𝑥,𝑦)∈𝐸^2, 𝑑(𝑥,𝑦)=𝑑(𝑦,𝑥) (symétrie)
ii.∀(𝑥,𝑦)∈𝐸^2, 𝑑(𝑥,𝑦)=0 équivaut à 𝑥=𝑦 (équation)
iii.∀𝑥,𝑦,𝑧∈𝐸^3, 𝑑(𝑥,𝑧)≤𝑑(𝑥,𝑦)+𝑑(𝑦,𝑧) (inégalité triangulaire).
 - Boule ouverte :
Soit 𝑥∈𝐸 et 𝑟∈ℝ. On appelle boule ouverte de centre 𝑥0 et de rayon 𝑟, 𝐵(𝑥0,𝑟)={𝑥∈𝐸, ||𝑥−𝑥0||<𝑟}.
 - Boule fermée :
Soit 𝑥∈𝐸 et 𝑟∈ℝ. On appelle boule fermée de centre 𝑥0 et de rayon 𝑟, 𝐵(𝑥0,𝑟)={𝑥∈𝐸, ||𝑥−𝑥0||≤𝑟}.
 - Partie bornée :
Une partie bornée de 𝐸 est une partie de 𝐸 incluse dans une boule ouverte ou fermée.
En effet, une partie d’un espace métrique est dite bornée si la distance entre ces points est majorée par un réel fixé, autrement si son ensemble est fini.
A est bornée équivaut à ∃𝑀>0, ∀𝑥∈𝐴, ||𝑥||≤𝑀.
 - Voisinage :
On appelle voisinage de 𝑥∈𝐸 dans 𝐸 une partie 𝑉 de 𝐸 contenant une boule ouverte centrée 𝑥 de rayon >0. Autrement dit, un voisinage d’un point est un sous-ensemble qui contient un ouvert contenant ce point.
i.e. : ∃𝑟>0, 𝐵(𝑥,𝑟)⊂ 𝑉. On dit que 𝑥 est intérieur à 𝑉.
- Partie ouverte :
Une partie ouverte de 𝐸 (ou dans 𝐸) est une partie de 𝐸 au voisinage de chacun de ses points. Autrement dit : 𝐴⊂𝐸 est ouverte dans 𝐸 équivaut à ∀𝑥∈𝐴, ∃ 𝑟>0, 𝐵(𝑥,𝑟)⊂𝐴.
Remarques :
∅ et 𝐸 sont des ouverts de 𝐸. Une boule ouverte est un ouvert de 𝐸.
 - Partie fermée :
Une partie fermée de 𝐸 est une partie de 𝐸 dont le complémentaire est un ouvert de 𝐸.
Exemple : ∅ et 𝐸 sont des fermés de 𝐸 (à la fois ouverts et fermés). Une boucle fermée est un fermé de 𝐸.
Remarque : il existe des parties de 𝐸 ni ouverte ni fermée.
  • Suites à valeurs dans 𝑅^𝑛 :
Définition :
Une suite (vectorielle) est une fonction 𝑢 ∶ 𝑁→𝐸.
Pour 𝑝∈𝑁, 𝑢(𝑝) se note 𝑢𝑝. Leur ensemble se note 𝐹(𝑁,𝐸) ou 𝐸^𝑁.

Propriété :
Soit 𝑢∈𝐸^𝑁. Pour 𝑝∈𝑁, on note 𝑢𝑝=(𝑢(𝑝,1),⋯,𝑢(𝑝,𝑛)). La suite 𝑢 converge vers 𝑙=(𝑙1,⋯,𝑙𝑛) ∀𝑖∈{1,⋯,𝑛}, 𝑢(𝑝,𝑖) converge vers 𝑙𝑖.
Ainsi pour étudier 𝑢, on se ramène à l’étude de 𝑛 suites de réels.

  • Questions :

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