Diagonalisation de matrices 3×3 symétriques

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, le chapitre traité est celui sur la réduction d’endomorphismes.

Nous allons voir ici, sous la forme d’un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 quelconque symétrique.

Nous allons corriger un exercice qui a été posé au concours Banque PT 2008 pour l’épreuve d’algèbre.

Dans cet article, seule la partie II sera traitée. L’énoncé de l’épreuve d’algèbre de l’épreuve du concours Banque PT 2008 est :

Dans l’espace vectoriel R^3, on considère les endomorphismes f et g dont les matrices dans la base canonique sont respectivement :

Les questions se référant à l’exercice sont les suivantes :

Question n°1 : Montrez que les deux matrices Af et Ag sont diagonalisables.

Question n°2 : Vérifier que les deux endomorphismes f et g commutent.

Question n°3 : Déterminer tous les vecteurs propres de f associés à la valeur propre 1. Vérifier que tous ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de g.

Question n°4 : Déterminer le sous-espace propre de f associé à la valeur propre -1.

  • Correction de l’exercice :

Question n°1 corrigée :

Les matrices Af et Ag sont symétriques réelles, on sait alors qu’elles sont diagonalisables.

Question n°2 corrigée :

Les endomorphismes f et g commutent si Af x Ag = Ag x Af ce qui est facilement démontrable en calculant le produit des deux matrices.

Question n°3 corrigée :

On résout ker(Af – Id) = 0 et on arrive au système suivant : {y=x et z=0. Le vecteur (1 ; 1 ; 0) est un vecteur propre de f. Notons E1(f) la droite engendrée par le vecteur (1 ; 1 ; 0). Ce qui peut s’écrire aussi, µ E1(f) = µ(1 ; 1 ; 0) avec µ un nombre réel.

Pour que les valeurs propres de f soient aussi des valeurs propres de g, on calcule g(µ ; µ ; 0) et on regarde si g(µ ; µ ; 0) = µ(1 ; 1 ; 0).

Question n°4 corrigée :

On résout l’équation : f(x ; y ; z) = -1 (x ; y ;z) équivaut à y = -x. Donc le sous-espace propre associé -1 est le plan P d’équation y = -x.

Pour plus d’explications, n’hésitez pas à visionner la vidéo !

N’hésitez pas aussi à utiliser la barre de commentaires pour poser vos questions ou réagir. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.

Chapitre 7 : Diagonaliser une matrice 3×3

Voici une nouvelle vidéo sur le chapitre 7 que j’ai intitulé Réduction des endomorphismes et matrices carrées. La vidéo ci-dessous vous explique, à travers un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 (de format 3).

  • Exercice/Vidéo :

  • Questions :

N’hésitez pas à utiliser la barre de commentaires pour poser vos questions ou réagir. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.

Chapitre 7 : Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Vous trouverez ci-dessous, le chapitre n°7 du module « Réussir sa deuxième année en prépa ». Ce cours est destiné à l’ensemble des élèves de maths Spé, quelque soit leur filière, mais particulièrement à ceux ayant choisi la filière PT.

  • Sommaire :

# Éléments propres d’un endomorphisme
# Éléments propres d’une matrice
# Polynôme caractéristique
Définition
Ordre de multiplicité
# Diagonalisation
Définition
Caractérisation des endomorphismes et des matrices diagonalisables
Exemples : symétries et projections
# Trigonalisation
# Applications
Calcul des puissances d’une matrice
Systèmes de récurrence linéaires du premier ordre à coefficients constants
Suites récurrentes linéaires du premier ordre à coefficients constants

  • Cours PDF :

Pour avoir accès au cours en format PDF, cliquez sur le lien de téléchargement ci-après : Chapitre 7_ Réduction des endomorphismes.

  • Questions :

N’hésitez pas à utiliser la barre de commentaires pour poser vos questions ou réagir. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.