Notion d’ensembles et de sous-ensembles

Le cours d’aujourd’hui sera consacré à la théorie des ensembles.
Nous allons définir la notion d’ensemble et de sous-ensemble. Ces deux notions sont essentielles à la formalisation du raisonnement mathématique. La définition précise de la notion d’ensemble dépasse très largement le cadre de ce cours.
Nous nous contenterons ici d’une définition dite naïve qui est celle d’usage lorsque l’on débute des études en mathématiques.

Commençons par quelques définitions.
On appelle ensemble une collection d’objets. Ces objets s’appellent les éléments de l’ensemble. Lorsque est un élément de l’ensemble E, on dit que x appartient à E. Lorsque n’est pas un élément de E, on dit que x n’appartient pas à E.
Par définition, deux ensembles A et B sont égaux s’ils contiennent les mêmes éléments.
L’ensemble qui ne contient aucun élément, appelé l’ensemble vide.
De plus, dire qu’un élément x appartient à l’ensemble vide équivaut à dire qu’un tel élément n’existe pas. Par exemple, il n’existe aucun réel x vérifiant l’équation x^2+1=0, ce que l’on exprime, comme vous le savez sûrement, en disant que l’ensemble E des solutions de cette équation est l’ensemble vide.

Voici quelques exemples d’ensembles que vous connaissez déjà : l’ensemble des entiers naturels noté grand N, l’ensemble des entiers relatifs noté grand Z et l’ensemble des nombres réels noté grand R.

Pour définir un ensemble, on peut énumérer les éléments qui le constituent entre accolades, par exemple : l’ensemble E= {0,1,2,3,4,5}.

On peut également donner une propriété qui caractérise notre ensemble : par exemple, E est l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 5.

Voici un second exemple : l’ensemble des nombres entiers naturels pairs se définit en extension par E={0,2,4,6,…} et ainsi de suite ou bien en compréhension en disant que E est l’ensemble des entiers naturels multiples de 2.

Dans le cas d’une définition en extension, l’ordre n’a pas d’importance. Ainsi, les ensembles {0,1,2,3,4, 5} et {5,4,1,2,0,3} sont identiques.

D’autre part, les éléments d’un ensemble ne sont jamais répétés.
L’ensemble des solutions de l’équation x^2-2x+1=0 est l’ensemble constitué du seul élément 1. Ainsi on n’écrira jamais l’ensemble {1,1} .
Un ensemble peut être vide (c’est l’ensemble vide), il peut être fini ou infini comme N.

Une petite devinette : Combien d’éléments contient l’ensemble vide ?
Il n’est pas vide puisqu’il contient l’ensemble vide.
Il contient donc un seul élément qui est l’ensemble vide.

Passons maintenant à la définition de sous-ensembles. Soient A et E deux ensembles.
On dit que A est inclus dans E si tout élément de A est aussi un élément de E.
On dit alors que A est un sous-ensemble de E ou alors une partie de E.
Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des réels.

Remarquons que l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Pourquoi ? On se rappelle que pour montrer qu’un ensemble F est inclus dans A, on montre que tous les éléments de F appartiennent également à A.
Comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, ici, il n’y a rien à vérifier.
La propriété est donc établie ! Cette propriété qui a l’air d’être élémentaire va être fréquemment utilisée dans des raisonnements ultérieurs, voilà pourquoi nous la mentionnons dès cette première séquence.

Prouver l’égalité de deux ensembles est un enjeu essentiel dans la résolution des exercices et problèmes mathématiques.
Ainsi, lorsque l’on vous demande de résoudre une équation, vous ne vous en rendez peut-être pas compte, mais vous démontrez l’ égalité entre deux ensembles.

Nous illustrerons ce point dans un prochain exemple.
Commençons par expliquer la méthode pour prouver l’égalité entre deux ensembles.
L’égalité entre deux ensembles A et B se montre en deux temps : on prouve d’abord que A est inclus dans B en montrant que tout élément de A appartient à B, puis on prouve que B est inclus dans A en montrant que tout élément de B appartient à A.

Exemple :
Montrons que les deux ensembles suivants sont égaux. Soit A l’ensemble des solutions de l’équation du second degré x^2-1=0 et B l’ensemble constitué des réels -1 et 1.
Démontrons cette égalité d’ensemble par double inclusion.
Soit x un élément de A.
Alors x vérifie x^2-1=0 ce qui se réécrit (x-1)(x+1)=0.
Or, dans R, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc x est égal à 1 ou x est égal à -1.
Ainsi, x est bien un élément de B.
Montrons à présent la seconde inclusion Prenons x élément de B.
Soit x est égal à -1 alors son carré est égal à 1 donc x appartient à A . Soit x est égal à 1 et son carré est aussi égal à 1, ainsi x est un élément de A.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Chapitre 5 : Étude de suites récurrentes

Voici la première vidéo du chapitre 5 intitulé Séries numériques. Ici, l’idée est de voir comment étudier des suites récurrentes.

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Chapitre 2 : Théorème des trois conditions

Voici ci-dessous une nouvelle vidéo portant sur une notion clé du chapitre 2 que j’ai intitulé « Intégration sur un segment ». Nous allons parler ici du théorème des trois conditions.

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