Diagonalisation de matrices 3×3 symétriques

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, le chapitre traité est celui sur la réduction d’endomorphismes.

Nous allons voir ici, sous la forme d’un exercice, comment diagonaliser une matrice 3×3 quelconque symétrique.

Nous allons corriger un exercice qui a été posé au concours Banque PT 2008 pour l’épreuve d’algèbre.

Dans cet article, seule la partie II sera traitée. L’énoncé de l’épreuve d’algèbre de l’épreuve du concours Banque PT 2008 est :

Dans l’espace vectoriel R^3, on considère les endomorphismes f et g dont les matrices dans la base canonique sont respectivement :

Les questions se référant à l’exercice sont les suivantes :

Question n°1 : Montrez que les deux matrices Af et Ag sont diagonalisables.

Question n°2 : Vérifier que les deux endomorphismes f et g commutent.

Question n°3 : Déterminer tous les vecteurs propres de f associés à la valeur propre 1. Vérifier que tous ces vecteurs propres sont aussi des vecteurs propres de g.

Question n°4 : Déterminer le sous-espace propre de f associé à la valeur propre -1.

  • Correction de l’exercice :

Question n°1 corrigée :

Les matrices Af et Ag sont symétriques réelles, on sait alors qu’elles sont diagonalisables.

Question n°2 corrigée :

Les endomorphismes f et g commutent si Af x Ag = Ag x Af ce qui est facilement démontrable en calculant le produit des deux matrices.

Question n°3 corrigée :

On résout ker(Af – Id) = 0 et on arrive au système suivant : {y=x et z=0. Le vecteur (1 ; 1 ; 0) est un vecteur propre de f. Notons E1(f) la droite engendrée par le vecteur (1 ; 1 ; 0). Ce qui peut s’écrire aussi, µ E1(f) = µ(1 ; 1 ; 0) avec µ un nombre réel.

Pour que les valeurs propres de f soient aussi des valeurs propres de g, on calcule g(µ ; µ ; 0) et on regarde si g(µ ; µ ; 0) = µ(1 ; 1 ; 0).

Question n°4 corrigée :

On résout l’équation : f(x ; y ; z) = -1 (x ; y ;z) équivaut à y = -x. Donc le sous-espace propre associé -1 est le plan P d’équation y = -x.

Pour plus d’explications, n’hésitez pas à visionner la vidéo !

N’hésitez pas aussi à utiliser la barre de commentaires pour poser vos questions ou réagir. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.

Comment calculer l’inverse d’une matrice ?

Aujourd’hui, dans cette nouvelle vidéo, nous allons parler des différentes méthodes pour calculer l’inverse d’une matrice à travers un exercice incontournable.

  • Exercice/Vidéo :

  • Questions :

N’hésitez pas à partager vos propres conseils en commentaires. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.

Chapitre 12 : Multiplication de matrices : les pièges à éviter

Voici une nouvelle vidéo d’algèbre sur les matrices. Dans cette vidéo, nous allons voir trois pièges à éviter lorsqu’on a à multiplier des matrices entre elles. Des exemples sont donnés pour illustrer chaque piège.

  • Cours/Vidéo :

  • Questions :

N’hésitez pas à utiliser la barre de commentaires pour poser vos questions ou réagir. Pour poster un commentaire, cliquez sur le titre de l’article.