Négation, conjonction et disjonction

En mathématiques, pour relier les propriétés entre elles et en créer de nouvelles, avec des sens nouveaux, on trouve ce qu’on appelle des connecteurs.
Nous allons ici les introduire en faisant référence à chaque fois aux opérations ensemblistes que nous avons étudiées.

Considérons E un ensemble non vide et P(x) une propriété de la variable x, élément de E. Comme nous l’avons expliqué précédemment, cette propriété caractérise un sous-ensemble A de E : celui constitué de tous les éléments x de E pour lesquels P(x) est vraie. Cet ensemble A admet un complémentaire dans E : A barre. On considère alors la propriété Q(x) tel que A barre est l’ensemble des x de E pour lequel Q(x) est vraie. La propriété Q(x) s’appelle la négation de P(x) et se note ainsi. Ceci se lit non P(x) ou non P, en omettant la variable. Prenons par exemple pour E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un nombre pair ». L’ensemble A des éléments de E vérifiant la propriété P est l’ensemble des entiers pairs. Le complémentaire de A dans E est donc l’ensemble A barre, des entiers impairs. La négation de la propriété P(x) est donc la propriété : « x est un nombre impair ». Nous avons vu que pour une propriété, la valeur de vérité dépend des valeurs prises par la variable. Comparons les valeurs de vérité de P(x) et de sa négation non P(x). Reprenons notre exemple précédent avec la propriété P(x) « x est pair ». Dans le tableau, on remarque que P(5) est fausse et (non)(P)(5) est vraie tandis que P(4) est vraie et (non) (P)(4) est fausse.
On peut à présent écrire la table de vérité de la négation d’une propriété P. Dans la colonne de gauche, on écrit les valeurs de vérité de P. Dans la colonne de droite, on écrit, dans chaque cas, les valeurs de vérité de sa négation.
On remarque que P est vraie lorsque sa négation est fausse et qu’à l’inverse, P est fausse lorsque sa négation est vraie. Ce tableau de vérité de la négation est calqué sur celui indiquant le lien entre un ensemble et son complémentaire.
Ainsi, si x est dans A, x n’appartient pas à A barre. Et si x n’est pas dans A, x appartient à A barre. Ce que nous vous expliquons là est une construction de la négation à partir de la théorie des ensembles.

Dans la pratique, vous n’aurez pas besoin de repasser à chaque fois par le sous ensemble correspondant pour écrire la négation d’une propriété. Il vous suffira de nier la propriété comme on le fait en français en passant de la forme affirmative à la forme négative. Ainsi, la négation de la propriété « M est une matrice inversible » est « M n’est pas une matrice inversible ». La négation de la propriété «f est une fonction continue sur l’intervalle I » est « f n’est pas une fonction continue sur I», autrement dit f est discontinue sur I.

Mais, attention aux erreurs classiques : la négation de la propriété « f est une fonction croissante sur I » est « f n’est pas une fonction croissante sur I », et surtout pas « f est une fonction décroissante sur I ».

Passons à un deuxième connecteur : la conjonction.

Nous allons définir celui-ci à partir de l’intersection des sous ensembles. Soit E un ensemble non vide. Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x de E. Soit A l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie.
L’intersection de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels les propriétés P(x) et Q(x) sont vraies. Notons R(x) la propriété telle que A inter B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie.
La propriété R(x) est appelée la conjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi, ce qui se lit P(x) et Q(x), souvent abrégé en P et Q, en omettant la variable. Écrivons à présent la table de vérité de la conjonction. La conjonction de P et de Q est vérifiée lorsque les propriétés P et Q le sont. Si l’une ou l’autre est fausse, comme ceci, ou comme cela, ou si les deux sont fausses, alors la conjonction est fausse.
Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon
l’appartenance de l’élément x à A et à B, son appartenance à A inter B. En remarquant que les vrais correspondent à des symboles « appartient » et les faux à des symboles
« n’appartient pas », on voit l’analogie des situations : sur la dernière ligne, les deux précédentes ou encore la première. Passons à un exemple.
Plaçons-nous dans E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un entier pair » et Q(x) la propriété « x est un multiple de 3 ». Cherchons la conjonction de P et de Q en passant par les ensembles associés. Chacune de ces propriétés définit un ensemble Pour P, il s’agit de l’ensemble A des entiers x de N tel qu’il existe un entier n tel que x=2n et pour Q, il s’agit de l’ensemble B des entiers x de N tel qu’il existe un entier m tel que x=3m.
Montrons que l’intersection des ensembles A et de B est égal à l’ensemble, noté C, des entiers multiples de 6. Pour cela, procédons par double inclusion. Supposons d’abord que l’entier x est dans l’ensemble C : x est donc un multiple de 6. Il s’écrit alors sous la forme x=6k, où k est un entier. Cette écriture montre que x est un multiple de 2 et de 3. L’entier x est donc dans A inter B.
Supposons à présent que x est dans A inter B. Il existe donc un entier n tel que x=2n et un entier m tel que x=3m. Ainsi, 2n=3m. Comme 2 divise 2k, 2 divise 3m. Puisque 2 et 3 sont deux entiers premiers entre eux, le lemme de Gauss implique que 2 divise m.
Il existe ainsi un entier p tel m=2p. On en déduit que x=3m=6p. Donc x est un multiple de 6. Ainsi, l’élément x est dans C. On conclut par double inclusion que A inter B est égal à C, l’ensemble des entiers multiples de 6. En revenant aux propriétés, on en déduit que la conjonction de P(x) et de Q(x) est la propriété « x est un multiple de 6 »

Passons à un troisième et dernier connecteur : la disjonction, connecteur lié à l’union ensembliste. Soit E un ensemble non vide.
Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x. On considère à nouveau A : l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B : l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie. L’union de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels P(x) ou Q(x) est vraie. Notons R(x) la propriété telle que A union B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie. La propriété R(x) est appelée la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi ce qui se lit P(x) ou Q(x), souvent abrégé en P ou Q, en omettant la variable x.
Écrivons la table de vérité de la disjonction. Si l’une ou l’autre des propriétés P et Q sont vraies, leur disjonction est vraie. La disjonction est fausse que si P et Q sont toutes les deux fausses. Bien sûr, la disjonction P ou Q est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies : le « ou » n’est donc pas exclusif. Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon l’appartenance d’un élément x à A et à B, son appartenance à A union B.

Comme on l’a déjà constaté dans le cas de la conjonction, on note l’analogie entre
les lignes des tableaux : la dernière, les deux du milieu et la première. Passons à un exemple. Soit E l’ensemble des réels. Soit P(x) la propriété « x^2 est supérieur ou égal à 1 », et Q(x) la propriété « exponentielle (x) est inférieur ou égal à 1 ».

Cherchons la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) en passant par les ensembles associés. A l’ensemble des réels x vérifiant la propriété P est égal à ]-infini, -1]union [1, +infini[. B l’ensemble des réels x vérifiant la propriété Q est quant à lui égal à ]-infini, 0]. L’union de A et de B correspond à l’union des trois intervalles ]-infini, -1] union [1, +infini[ union ]-infini, 0], ce qui donne la réunion des intervalles ]-infini,0] et [1,+infini[ .
La disjonction de P(x) et Q(x) est donc la propriété « x est négatif ou supérieur ou égal à 1». Terminons par une petite devinette. Soit P(x) une propriété de la variable x de E. Soit Q(x) sa négation. Que dire de la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) ? Et que dire de leur conjonction ? Vous avez trouvé ? Passons par les ensembles. Soit A l’ensemble des éléments qui vérifient P. Soit B l’ensemble des éléments qui vérifient Q. Alors, B est le complémentaire de A. Il suit que A union B est égal à E tout entier. Ainsi, la disjonction de P(x) et de Q(x) est toujours vraie : on dit que c’est une tautologie. Toujours par caractérisation du complémentaire, A inter B est égal l’ensemble vide.
La conjonction de P et de Q n’est donc jamais vérifiée : c’est une propriété toujours fausse. Ceci porte le nom de contradiction. Nous verrons dans un prochain cours que tautologies et contradictions jouent un rôle assez important dans les raisonnements mathématiques.


Nous venons de vous présenter les trois principaux connecteurs logiques : la négation, la conjonction et la disjonction que nous avons défini à partir des opérations ensemblistes : la négation correspond au complémentaire, la conjonction à l’intersection et la disjonction à l’union.


Dans la pratique, on pourra écrire ces connecteurs sans revenir systématiquement aux opérations ensemblistes sous-jacentes la négation consistant, comme son nom l’indique, à prendre la négation de la propriété considérée, la conjonction consistant à relier les propriétés par la conjonction de coordination « et » et la disjonction à les relier par la conjonction de coordination « ou ».

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.