Négation, conjonction et disjonction

En mathématiques, pour relier les propriétés entre elles et en créer de nouvelles, avec des sens nouveaux, on trouve ce qu’on appelle des connecteurs.
Nous allons ici les introduire en faisant référence à chaque fois aux opérations ensemblistes que nous avons étudiées.

Considérons E un ensemble non vide et P(x) une propriété de la variable x, élément de E. Comme nous l’avons expliqué précédemment, cette propriété caractérise un sous-ensemble A de E : celui constitué de tous les éléments x de E pour lesquels P(x) est vraie. Cet ensemble A admet un complémentaire dans E : A barre. On considère alors la propriété Q(x) tel que A barre est l’ensemble des x de E pour lequel Q(x) est vraie. La propriété Q(x) s’appelle la négation de P(x) et se note ainsi. Ceci se lit non P(x) ou non P, en omettant la variable. Prenons par exemple pour E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un nombre pair ». L’ensemble A des éléments de E vérifiant la propriété P est l’ensemble des entiers pairs. Le complémentaire de A dans E est donc l’ensemble A barre, des entiers impairs. La négation de la propriété P(x) est donc la propriété : « x est un nombre impair ». Nous avons vu que pour une propriété, la valeur de vérité dépend des valeurs prises par la variable. Comparons les valeurs de vérité de P(x) et de sa négation non P(x). Reprenons notre exemple précédent avec la propriété P(x) « x est pair ». Dans le tableau, on remarque que P(5) est fausse et (non)(P)(5) est vraie tandis que P(4) est vraie et (non) (P)(4) est fausse.
On peut à présent écrire la table de vérité de la négation d’une propriété P. Dans la colonne de gauche, on écrit les valeurs de vérité de P. Dans la colonne de droite, on écrit, dans chaque cas, les valeurs de vérité de sa négation.
On remarque que P est vraie lorsque sa négation est fausse et qu’à l’inverse, P est fausse lorsque sa négation est vraie. Ce tableau de vérité de la négation est calqué sur celui indiquant le lien entre un ensemble et son complémentaire.
Ainsi, si x est dans A, x n’appartient pas à A barre. Et si x n’est pas dans A, x appartient à A barre. Ce que nous vous expliquons là est une construction de la négation à partir de la théorie des ensembles.

Dans la pratique, vous n’aurez pas besoin de repasser à chaque fois par le sous ensemble correspondant pour écrire la négation d’une propriété. Il vous suffira de nier la propriété comme on le fait en français en passant de la forme affirmative à la forme négative. Ainsi, la négation de la propriété « M est une matrice inversible » est « M n’est pas une matrice inversible ». La négation de la propriété «f est une fonction continue sur l’intervalle I » est « f n’est pas une fonction continue sur I», autrement dit f est discontinue sur I.

Mais, attention aux erreurs classiques : la négation de la propriété « f est une fonction croissante sur I » est « f n’est pas une fonction croissante sur I », et surtout pas « f est une fonction décroissante sur I ».

Passons à un deuxième connecteur : la conjonction.

Nous allons définir celui-ci à partir de l’intersection des sous ensembles. Soit E un ensemble non vide. Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x de E. Soit A l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie.
L’intersection de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels les propriétés P(x) et Q(x) sont vraies. Notons R(x) la propriété telle que A inter B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie.
La propriété R(x) est appelée la conjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi, ce qui se lit P(x) et Q(x), souvent abrégé en P et Q, en omettant la variable. Écrivons à présent la table de vérité de la conjonction. La conjonction de P et de Q est vérifiée lorsque les propriétés P et Q le sont. Si l’une ou l’autre est fausse, comme ceci, ou comme cela, ou si les deux sont fausses, alors la conjonction est fausse.
Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon
l’appartenance de l’élément x à A et à B, son appartenance à A inter B. En remarquant que les vrais correspondent à des symboles « appartient » et les faux à des symboles
« n’appartient pas », on voit l’analogie des situations : sur la dernière ligne, les deux précédentes ou encore la première. Passons à un exemple.
Plaçons-nous dans E l’ensemble des entiers naturels. Soit P(x) la propriété « x est un entier pair » et Q(x) la propriété « x est un multiple de 3 ». Cherchons la conjonction de P et de Q en passant par les ensembles associés. Chacune de ces propriétés définit un ensemble Pour P, il s’agit de l’ensemble A des entiers x de N tel qu’il existe un entier n tel que x=2n et pour Q, il s’agit de l’ensemble B des entiers x de N tel qu’il existe un entier m tel que x=3m.
Montrons que l’intersection des ensembles A et de B est égal à l’ensemble, noté C, des entiers multiples de 6. Pour cela, procédons par double inclusion. Supposons d’abord que l’entier x est dans l’ensemble C : x est donc un multiple de 6. Il s’écrit alors sous la forme x=6k, où k est un entier. Cette écriture montre que x est un multiple de 2 et de 3. L’entier x est donc dans A inter B.
Supposons à présent que x est dans A inter B. Il existe donc un entier n tel que x=2n et un entier m tel que x=3m. Ainsi, 2n=3m. Comme 2 divise 2k, 2 divise 3m. Puisque 2 et 3 sont deux entiers premiers entre eux, le lemme de Gauss implique que 2 divise m.
Il existe ainsi un entier p tel m=2p. On en déduit que x=3m=6p. Donc x est un multiple de 6. Ainsi, l’élément x est dans C. On conclut par double inclusion que A inter B est égal à C, l’ensemble des entiers multiples de 6. En revenant aux propriétés, on en déduit que la conjonction de P(x) et de Q(x) est la propriété « x est un multiple de 6 »

Passons à un troisième et dernier connecteur : la disjonction, connecteur lié à l’union ensembliste. Soit E un ensemble non vide.
Soit P(x) et Q(x) deux propriétés de la variable x. On considère à nouveau A : l’ensemble des x de E tels que P(x) est vraie et B : l’ensemble des x de E tels que Q(x) est vraie. L’union de A et de B est donc l’ensemble des éléments x de E pour lesquels P(x) ou Q(x) est vraie. Notons R(x) la propriété telle que A union B soit égal à l’ensemble des éléments x de E pour lesquels R(x) est vraie. La propriété R(x) est appelée la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) et notée ainsi ce qui se lit P(x) ou Q(x), souvent abrégé en P ou Q, en omettant la variable x.
Écrivons la table de vérité de la disjonction. Si l’une ou l’autre des propriétés P et Q sont vraies, leur disjonction est vraie. La disjonction est fausse que si P et Q sont toutes les deux fausses. Bien sûr, la disjonction P ou Q est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies : le « ou » n’est donc pas exclusif. Cette table de vérité est à mettre en regard avec le tableau suivant qui indique selon l’appartenance d’un élément x à A et à B, son appartenance à A union B.

Comme on l’a déjà constaté dans le cas de la conjonction, on note l’analogie entre
les lignes des tableaux : la dernière, les deux du milieu et la première. Passons à un exemple. Soit E l’ensemble des réels. Soit P(x) la propriété « x^2 est supérieur ou égal à 1 », et Q(x) la propriété « exponentielle (x) est inférieur ou égal à 1 ».

Cherchons la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) en passant par les ensembles associés. A l’ensemble des réels x vérifiant la propriété P est égal à ]-infini, -1]union [1, +infini[. B l’ensemble des réels x vérifiant la propriété Q est quant à lui égal à ]-infini, 0]. L’union de A et de B correspond à l’union des trois intervalles ]-infini, -1] union [1, +infini[ union ]-infini, 0], ce qui donne la réunion des intervalles ]-infini,0] et [1,+infini[ .
La disjonction de P(x) et Q(x) est donc la propriété « x est négatif ou supérieur ou égal à 1». Terminons par une petite devinette. Soit P(x) une propriété de la variable x de E. Soit Q(x) sa négation. Que dire de la disjonction des propriétés P(x) et Q(x) ? Et que dire de leur conjonction ? Vous avez trouvé ? Passons par les ensembles. Soit A l’ensemble des éléments qui vérifient P. Soit B l’ensemble des éléments qui vérifient Q. Alors, B est le complémentaire de A. Il suit que A union B est égal à E tout entier. Ainsi, la disjonction de P(x) et de Q(x) est toujours vraie : on dit que c’est une tautologie. Toujours par caractérisation du complémentaire, A inter B est égal l’ensemble vide.
La conjonction de P et de Q n’est donc jamais vérifiée : c’est une propriété toujours fausse. Ceci porte le nom de contradiction. Nous verrons dans un prochain cours que tautologies et contradictions jouent un rôle assez important dans les raisonnements mathématiques.


Nous venons de vous présenter les trois principaux connecteurs logiques : la négation, la conjonction et la disjonction que nous avons défini à partir des opérations ensemblistes : la négation correspond au complémentaire, la conjonction à l’intersection et la disjonction à l’union.


Dans la pratique, on pourra écrire ces connecteurs sans revenir systématiquement aux opérations ensemblistes sous-jacentes la négation consistant, comme son nom l’indique, à prendre la négation de la propriété considérée, la conjonction consistant à relier les propriétés par la conjonction de coordination « et » et la disjonction à les relier par la conjonction de coordination « ou ».

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Notion d’ensembles et de sous-ensembles

Le cours d’aujourd’hui sera consacré à la théorie des ensembles.
Nous allons définir la notion d’ensemble et de sous-ensemble. Ces deux notions sont essentielles à la formalisation du raisonnement mathématique. La définition précise de la notion d’ensemble dépasse très largement le cadre de ce cours.
Nous nous contenterons ici d’une définition dite naïve qui est celle d’usage lorsque l’on débute des études en mathématiques.

Commençons par quelques définitions.
On appelle ensemble une collection d’objets. Ces objets s’appellent les éléments de l’ensemble. Lorsque est un élément de l’ensemble E, on dit que x appartient à E. Lorsque n’est pas un élément de E, on dit que x n’appartient pas à E.
Par définition, deux ensembles A et B sont égaux s’ils contiennent les mêmes éléments.
L’ensemble qui ne contient aucun élément, appelé l’ensemble vide.
De plus, dire qu’un élément x appartient à l’ensemble vide équivaut à dire qu’un tel élément n’existe pas. Par exemple, il n’existe aucun réel x vérifiant l’équation x^2+1=0, ce que l’on exprime, comme vous le savez sûrement, en disant que l’ensemble E des solutions de cette équation est l’ensemble vide.

Voici quelques exemples d’ensembles que vous connaissez déjà : l’ensemble des entiers naturels noté grand N, l’ensemble des entiers relatifs noté grand Z et l’ensemble des nombres réels noté grand R.

Pour définir un ensemble, on peut énumérer les éléments qui le constituent entre accolades, par exemple : l’ensemble E= {0,1,2,3,4,5}.

On peut également donner une propriété qui caractérise notre ensemble : par exemple, E est l’ensemble des nombres entiers compris entre 0 et 5.

Voici un second exemple : l’ensemble des nombres entiers naturels pairs se définit en extension par E={0,2,4,6,…} et ainsi de suite ou bien en compréhension en disant que E est l’ensemble des entiers naturels multiples de 2.

Dans le cas d’une définition en extension, l’ordre n’a pas d’importance. Ainsi, les ensembles {0,1,2,3,4, 5} et {5,4,1,2,0,3} sont identiques.

D’autre part, les éléments d’un ensemble ne sont jamais répétés.
L’ensemble des solutions de l’équation x^2-2x+1=0 est l’ensemble constitué du seul élément 1. Ainsi on n’écrira jamais l’ensemble {1,1} .
Un ensemble peut être vide (c’est l’ensemble vide), il peut être fini ou infini comme N.

Une petite devinette : Combien d’éléments contient l’ensemble vide ?
Il n’est pas vide puisqu’il contient l’ensemble vide.
Il contient donc un seul élément qui est l’ensemble vide.

Passons maintenant à la définition de sous-ensembles. Soient A et E deux ensembles.
On dit que A est inclus dans E si tout élément de A est aussi un élément de E.
On dit alors que A est un sous-ensemble de E ou alors une partie de E.
Par exemple, l’ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs, lui-même inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui est inclus dans l’ensemble des réels.

Remarquons que l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble. Pourquoi ? On se rappelle que pour montrer qu’un ensemble F est inclus dans A, on montre que tous les éléments de F appartiennent également à A.
Comme l’ensemble vide ne contient aucun élément, ici, il n’y a rien à vérifier.
La propriété est donc établie ! Cette propriété qui a l’air d’être élémentaire va être fréquemment utilisée dans des raisonnements ultérieurs, voilà pourquoi nous la mentionnons dès cette première séquence.

Prouver l’égalité de deux ensembles est un enjeu essentiel dans la résolution des exercices et problèmes mathématiques.
Ainsi, lorsque l’on vous demande de résoudre une équation, vous ne vous en rendez peut-être pas compte, mais vous démontrez l’ égalité entre deux ensembles.

Nous illustrerons ce point dans un prochain exemple.
Commençons par expliquer la méthode pour prouver l’égalité entre deux ensembles.
L’égalité entre deux ensembles A et B se montre en deux temps : on prouve d’abord que A est inclus dans B en montrant que tout élément de A appartient à B, puis on prouve que B est inclus dans A en montrant que tout élément de B appartient à A.

Exemple :
Montrons que les deux ensembles suivants sont égaux. Soit A l’ensemble des solutions de l’équation du second degré x^2-1=0 et B l’ensemble constitué des réels -1 et 1.
Démontrons cette égalité d’ensemble par double inclusion.
Soit x un élément de A.
Alors x vérifie x^2-1=0 ce qui se réécrit (x-1)(x+1)=0.
Or, dans R, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Donc x est égal à 1 ou x est égal à -1.
Ainsi, x est bien un élément de B.
Montrons à présent la seconde inclusion Prenons x élément de B.
Soit x est égal à -1 alors son carré est égal à 1 donc x appartient à A . Soit x est égal à 1 et son carré est aussi égal à 1, ainsi x est un élément de A.

Ce cours est extrait du module « Introduction au raisonnement mathématique : préparation à l’entrée dans l’enseignement supérieur » de Henri Lemberg et Magali Rocher tous deux docteurs agrégés en mathématiques.

Raisonnement par l’absurde

La vidéo d’aujourd’hui parle de logique et aborde la partie sur le raisonnement par l’absurde. Soit une propriété (P) dont on désire montrer qu’elle est fausse. Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que cette propriété est vraie et à aboutir à une contradiction. Le raisonnement par l’absurde est également utilisé dans le raisonnement par contraposition, consistant à prouver l’implication PQ en montrant que non(Q) → non(P).

Je vous invite à en savoir plus en regardant la vidéo ci-dessous.

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Chapitre 6 : Méthodes de raisonnement

Voici une nouvelle vidéo portant sur le chapitre 6 intitulé Langage et Raisonnement de la formation Réussir sa 1ère année de prépa. Nous allons voir ici les différentes méthodes de raisonnement à comprendre et à savoir utiliser pour toutes vos démonstrations.

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