Homothéties et similitudes

Homothéties

Soit O un point et k un réel non nul. Une homothétie h, de centre O et de rapport k, est définie par : M’ = h(M) équivaut à OM’ = k OM.

Cas particuliers :

Pour k = 1, l’homothétie est l’identité, ou encore application identique, telle que, pour tout point M, on a : M’ = M. Pour k = –1, c’est la symétrie de centre O .

Propriétés :
Si les points M et N ont pour images respectives M’ et N’, alors : M’N’ = k MN. Sauf lorsque k = 1 ou k = –1, l’homothétie ne conserve pas les distances (donc n’est pas une isométrie), mais cependant elle conserve les proportions, propriété caractéristique des similitudes, dont l’étude est l’objet de ce chapitre.

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k et les aires par k^2 .


L’homothétie est bijective.

La composée de deux homothéties de rapport k1 et k2 est :
– une translation lorsque k1 x k2 = 1
– une homothétie de rapport k1 x k2 sinon.

L’écriture complexe de l’homothétie de centre O d’affixe z0 et de rapport k est :

z’- z0 = k(z – z0).

L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.

L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre h( A) et de rayon |k|R.

Similitudes

On appelle similitude du plan toute transformation s du plan dans lui-même qui conserve les rapports de distances, c’est-à-dire :

pour tous points A, B, C et D, avec A différent de B et C différent de D , dont les images respectives par s sont A’, B’, C’ et D’, alors :

A’B’/C’D’ = AB/CD.

Une transformation s est une similitude si et seulement s’il existe un unique réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B, d’images respectives A’ et B’ par s, on a : A’B’=k AB.

Le réel k est appelé le rapport de la similitude.

Deux exemples importants :
– Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k (ne pas oublier les valeurs absolues !).
– Une isométrie est une similitude de rapport 1.

Propriétés des similitudes :

La composée de deux similitudes de rapports k1 et k2 est une similitude de rapport k1 x k2 .

Généralisation : La composée de plusieurs similitudes est une similitude.

La réciproque d’une similitude (qui existe puisqu’une similitude est bijective) de rapport k est une similitude de rapport 1/k.

La composée d’une similitude de rapport k et d’une homothétie de rapport 1/k est une isométrie.

Conséquence :

Toute similitude s(k) de rapport k peut être considérée (et de plusieurs façons) comme la composée d’une homothétie h(k) de rapport k et d’une isométrie f, sous la forme s(k) = h(k) o f ou s(k) = f o h(k) .

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Du retard dans tes révisions ? Que faire ? 8 clés pour s’en sortir !

Aujourd’hui, dans cette nouvelle, je vais vous donner des conseils et astuces si vous êtes en retard dans vos révisions, et que vous souhaitez quand même bien réussir vos examens.

Travailler à la dernière minute n’est pas recommandé mais parfois on n’a pas le choix.

Prendre du retard pendant ses révisions peut arriver à tout le monde ; mais cela ne vient pas forcément des mêmes raisons.

Certaines sont exceptionnelles voire imprévisibles : une maladie par exemple. Vous ne pouvez donc rien y faire ; il faut simplement essayer de reprendre le dessus après. Et dans ce cas, il faudra prendre du temps pour rattraper tout le retard accumulé le plus vite et le plus tôt.

Mais la plupart des retards pris sur le travail sont dus à un manque d’organisation et de motivation auxquels il faut absolument remédier. Voici quelques clés qui vous aideront à mieux vous organiser :

– Clé n°1 : Ne pas se mettre la pression pour ne jamais être en retard.

– Clé n°2 : Veillez toujours à ce que votre retard ne soit pas trop important.

– Clé n°3 : Pour mieux vous organiser, vous pouvez faire un planning pour classer par ordre d’importance tout le travail à faire. Certains devoirs/travaux sont plus urgents ; les mettre donc en priorité sur votre planning.

– Clé n°4 : Fixez-vous des objectifs à atteindre en respectant des délais afin de travailler de façon efficace. Par exemple, ficher un cours en trois heures est un peu long. L’idée est de le faire en une heure seulement.

– Clé n°5 : Inclure le travail à faire au quotidien avec celui à rattraper.

– Clé n°6 : Organisez-vous en journée pour travailler en fonction de vos disponibilités : travaillez en moyenne huit à neuf heures de travail par jour (cours + révisions). Ajustez vos heures de révision le week-end.

– Clé n°7 : Augmentez votre charge de travail progressivement pour combler votre retard sans en faire trop.

– Clé n°8 : Limitez les distractions pour être efficace.

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#pretpourlesconcours

Les écrits des concours d’entrée en école d’ingénieurs se rapprochent très vite pour les élèves de maths spé, que ce soit en prépa MP, PC ou PSI ou encore PT et BCPST. Les écrits ont déjà commencé le 18 avril 2018 avec le concours X / ENS pour se terminer le 15 mai 2018 avec la dernière épreuve du concours e3a. Pour vous aider à aborder cette période cruciale de votre parcours en CPGE, je vous invite vite à cliquer sur la vidéo ci-dessous pour découvrir ce qui pourra vous faire gagner un temps fou dans vos révisions de dernière minute !

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Dans cette nouvelle vidéo, des conseils pour aider à mieux rédiger vos fiches de cours ou vos fiches de révision. Vos révisions n’en seront que meilleures car vous serez plus efficace.

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