Homothéties et similitudes

Homothéties

Soit O un point et k un réel non nul. Une homothétie h, de centre O et de rapport k, est définie par : M’ = h(M) équivaut à OM’ = k OM.

Cas particuliers :

Pour k = 1, l’homothétie est l’identité, ou encore application identique, telle que, pour tout point M, on a : M’ = M. Pour k = –1, c’est la symétrie de centre O .

Propriétés :
Si les points M et N ont pour images respectives M’ et N’, alors : M’N’ = k MN. Sauf lorsque k = 1 ou k = –1, l’homothétie ne conserve pas les distances (donc n’est pas une isométrie), mais cependant elle conserve les proportions, propriété caractéristique des similitudes, dont l’étude est l’objet de ce chapitre.

Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par k et les aires par k^2 .


L’homothétie est bijective.

La composée de deux homothéties de rapport k1 et k2 est :
– une translation lorsque k1 x k2 = 1
– une homothétie de rapport k1 x k2 sinon.

L’écriture complexe de l’homothétie de centre O d’affixe z0 et de rapport k est :

z’- z0 = k(z – z0).

L’image d’une droite par une homothétie est une droite parallèle.

L’image du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre h( A) et de rayon |k|R.

Similitudes

On appelle similitude du plan toute transformation s du plan dans lui-même qui conserve les rapports de distances, c’est-à-dire :

pour tous points A, B, C et D, avec A différent de B et C différent de D , dont les images respectives par s sont A’, B’, C’ et D’, alors :

A’B’/C’D’ = AB/CD.

Une transformation s est une similitude si et seulement s’il existe un unique réel k strictement positif tel que, pour tous points A et B, d’images respectives A’ et B’ par s, on a : A’B’=k AB.

Le réel k est appelé le rapport de la similitude.

Deux exemples importants :
– Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k (ne pas oublier les valeurs absolues !).
– Une isométrie est une similitude de rapport 1.

Propriétés des similitudes :

La composée de deux similitudes de rapports k1 et k2 est une similitude de rapport k1 x k2 .

Généralisation : La composée de plusieurs similitudes est une similitude.

La réciproque d’une similitude (qui existe puisqu’une similitude est bijective) de rapport k est une similitude de rapport 1/k.

La composée d’une similitude de rapport k et d’une homothétie de rapport 1/k est une isométrie.

Conséquence :

Toute similitude s(k) de rapport k peut être considérée (et de plusieurs façons) comme la composée d’une homothétie h(k) de rapport k et d’une isométrie f, sous la forme s(k) = h(k) o f ou s(k) = f o h(k) .

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