Problème d’optimisation sur un cylindre

Bonjour, aujourd’hui nous allons traiter ensemble un problème d’optimisation tombé au concours Banque PT en 2003.

Problème d’optimisation

Voici l’énoncé du problème :

Un fabricant de boîtes de conserve a une commande : il doit produire des boîtes cylindriques de volume V donné. Quelles doivent être les caractéristiques de la boîte (diamètre et hauteur) pour que le fabriquant utilise le moins de métal possible ?

Voici en quelques lignes de éléments de réponse pour aller au bout de l’exercice :

Notons h la hauteur de cette boîte et D son diamètre. Le volume V est imposé donc h et D vérifient la contrainte :

V = h x Pi x D²/4

La surface S d’une boîte cylindrique vaut :

Surface = aire latérale + 2 x aire du disque

S = Pi x D x h + 2 x Pi x D²/4

Remarque : on suppose l’épaisseur du cylindre constante ; ce qui implique qu’optimiser la quantité de métal, c’est optimiser l’aire totale.

Ainsi, en respectant la contrainte, on peut calculer S en fonction de D seul :

S = Pi/2 x D² + Pi x D x 4 x V / Pi x D² = Pi / 2 x D² + 4V/D

Notons phi(D) = Pi/2 x D² + 4V/D. Phi est dérivable sur ]0 ; +infini[ avec :

phi'(D) = Pi x D – 4V/D² = (Pi x D^3 – 4V) / D²

Donc phi passe par un minimum pour D = (4V/Pi)^(1/3), ce qui donne :

h = 4V/Pi x 1/D² = (4V/Pi)^(1-2/3) = (4V/Pi)^(1/3) = D.

Conclusion de l’exercice :

La boîte optimale est telle que son diamètre égale sa hauteur.

Voici la correction de l’exercice en vidéo :

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